Question

Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямой параллелепипед. DC=8, CC1=6, угол A=60°. Найти: A1C, B1D.

Answer 1

Хорошо, давайте решим эту задачу поэтапно.

1. Разберемся с обозначениями:

- ABCDA1B1C1D1 - это название нашего прямого параллелепипеда, где A, B, C, D - вершины основания, а A1, B1, C1, D1 - вершины противолежащего основания;
- DC = 8 - это длина ребра, соединяющего вершины D и C;
- CC1 = 6 - это длина ребра, соединяющего вершины C и C1;
- Угол A = 60° - это угол между ребром, соединяющим вершины A и D, и плоскостью основания ABCD.

2. Найдем высоту параллелепипеда:

Так как AD и C1D1 - это параллельные прямые, а DC — высота параллелепипеда, то можно провести высоту из вершины A на основание C1D1. Обозначим эту точку H. Тогда аналогичная высота из вершины B обозначается точкой H1.

- Проведем высоту AH:
- Так как ABCDA1B1C1D1 - это параллелепипед, то AB и A1B1 - это параллельные прямые.
- Также, угол A = 60°, поэтому угол A1AH = 90 - 60 = 30°.
- Мы можем использовать тригонометрию для нахождения AH.

Воспользуемся соотношением тангенса для прямоугольного треугольника A1AH:
- tan(30°) = AH / A1H.
- Так как AH - это высота, а A1H - это длина ребра A1B1, мы получаем A1H = AH.

Наша задача - найти A1C. Поскольку наш треугольник AHA1A1 является прямоугольным и у нас есть известные значения AH и A1H, мы можем применить теорему Пифагора:
- AH^2 + A1H^2 = AA1^2.
- Вместо AA1 мы подставляем значение (CC1), так как этот отрезок является диагональю основания C1D1.
- Подставляем известные значения и находим A1H.

3. Найдем B1D:

- Так как ABCDA1B1C1D1 - прямой параллелепипед, то A1B1D - прямоугольный треугольник. Также, известно, что и его угол A1 = 90°, и длина ребра A1D (DC) равна 8.
- Мы можем использовать теорему Пифагора:
- A1D^2 + B1D^2 = A1B1^2.
- Подставляем известные значения и находим B1D.

Теперь у нас есть ответы на оба вопроса:

- A1C - это найденная нами длина A1H;
- B1D - это найденная нами длина B1D.