Question

Окружность ω c центром в точке O и радиусом R описана около треугольника ABC. Найди значение R, если ∠ACB = 30° и периметр ΔAOB = 15 см.

Answer 1

Для решения данной задачи, нам необходимо воспользоваться свойством описанной окружности треугольника.

Одно из свойств гласит, что центр описанной окружности треугольника эквидистантен от всех вершин треугольника. Это означает, что расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника равно радиусу этой окружности.

Пусть R - искомое значение радиуса описанной окружности треугольника.

Таким образом, нам нужно найти радиус R. Для этого сначала нужно найти расстояние от центра окружности O до любой из вершин треугольника.

Мы знаем, что периметр треугольника ΔAOB равен 15 см. Так как у треугольника сумма длин сторон равна периметру, то мы можем найти длины сторон треугольника AB и BC по формуле:

AB + AO + BO = 15,

где AO и BO - длины сторон треугольника, которые являются радиусами окружности. Поскольку эти стороны равны R, мы можем записать:

AB + R + R = 15,

AB = 15 - 2R.

Также нам известно, что ∠ACB = 30°. Мы знаем, что в описанном треугольнике угол между диаметром и хордой равен углу, образованному этой хордой и дугой окружности относительно центра треугольника. Значит, ∠ACB = 30° равно половине центрального угла, образованного дугой AB.

Следовательно, центральный угол, образованный дугой AB, равен 2 * ∠ACB = 2 * 30° = 60°.

Теперь мы можем использовать свойства синуса для дальнейшего решения задачи.

Согласно свойству синуса, мы можем записать:

AB / sin(∠ABC) = 2R.

Заменим AB на 15 - 2R и ∠ABC на 60°:

(15 - 2R) / sin(60°) = 2R.

Для нахождения значения R, решим данное уравнение.

Сначала упростим его, учитывая, что sin(60°) = √3 / 2:

(15 - 2R) / (√3 / 2) = 2R.

Умножим обе части уравнения на (√3 / 2), чтобы избавиться от знаменателя:

(15 - 2R) * (2 / √3) = 2R * (√3 / 2).

Упростим это уравнение:

(2R / √3) = 15 - 2R.

Разделим обе части уравнения на (2 / √3):

R = (15 - 2R) * (√3 / 2).

Далее раскроем скобки:

R = (15√3 - 2√3R) / 2.

Упростим это уравнение:

2R = 15√3 - 2√3R.

Перенесем все члены с R в левую часть уравнения, а числовые значения в правую часть:

2R + 2√3R = 15√3.

Факторизуем R:

2R(1 + √3) = 15√3.

Разделим обе части уравнения на (1 + √3):

R = 15√3 / (2(1 + √3)).

Для удобства умножим числитель и знаменатель на (1 - √3):

R = (15√3 * (1 - √3)) / (2 * (1 + √3) * (1 - √3)).

Упростим числитель и знаменатель:

R = (15√3 - 45) / (2 - 6) = (15√3 - 45) / (-4) = (-15√3 + 45) / 4.

Таким образом, радиус R, описанной окружности, равен (-15√3 + 45) / 4.

Ответ: Значение R равно (-15√3 + 45) / 4 см.