1. Соединим точки С и D с центром. Тогда треугольники AOD и ВОС равнобедренные (OA = OB = OC = OD как радиусы), ⇒
∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4.
∠2 = ∠3 как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AD и ВС секущей АВ. Но тогда в этих треугольниках равны и углы при вершине О. Значит треугольники AOD и ВОС равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒
AD = BC.
2. Точки, находящиеся на данном расстоянии от данной прямой а, будут расположены на прямой, параллельной прямой а (красные прямые). В зависимости от расположения прямых задача может иметь одно решение (1), два решения (2) и не иметь решения (3).
Рассмотрим ∆АОС - равнобедренный (АО = ОС по условию). Тогда углы DAC и ECA равны (по свойству равнобедренного треугольника).
Рассмотрим ∆АЕС и ∆DAC - прямоугольные. АС - общая сторона (гипотенуза), углы DAC = ECA по выше доказанному, поэтому, ∆АЕС = ∆DAC по гипотенузе и острому углу.
У равных треугольников равны соответствующие элементы (углы, стороны). Поэтому, углы ВАС и ВСА равны.
Рассмотрим ∆АВС. Углы ВАС и ВСА равны, следовательно, ∆АВС - равнобедренный, соответственно, АВ = ВС.
ответ: что требовалось доказать.