Question

По данным двум сторонам и углу между ними найдите третью сторону и остальные два угла треугольника: a=8 см, b=15 см, угол гамма=120 градусов

Answer 1

По теореме косинусов найдём CA:

$CA^2=a^2+b^2-2*a*b*cos120^{\circ}\\\\CA^2=8^2+15^2-2*8*15*(-\frac{1}{2})\\\\CA^2=64+225+8*15\\\\CA^2=64+225+120=409\\\\CA=\sqrt{409}$

Теперь по теореме синусов найдём один из углов, пусть это угол напротив стороны BA , найдём угол C:

$\frac{CA}{sinB}=\frac{BA}{sinC}\\\\\frac{\sqrt{409}}{sin120^{\circ}}=\frac{15}{sinC}\\\\\frac{\sqrt{409} }{\frac{\sqrt{3} }{2} }=\frac{15}{sinC}\\\\\frac{2\sqrt{409} }{\sqrt{3} }=\frac{15}{sinC}\\\\\frac{2\sqrt{1227} }{3}=\frac{15}{sinC}\\\\2\sqrt{1227}sinC=45\\\\sinC=\frac{45}{2\sqrt{1227} }\\\\$

Отсюда ∠C=$arcsin(\frac{45}{2\sqrt{1227} })\approx39, 96 ^{\circ}$

В сумма углов треугольника = 180°

Найдём ∠A

$180^{\circ}-(120^{\circ}+39,96 ^{\circ})=180^{\circ}-159,96^{\circ}\approx20,04^{\circ}$