Диагонали прямоугольной трапеции ABCD взаимно перпендикулярны. Короткая боковая сторона AB равна 9 см, длинное основание AD равно 12 см.
Определи:
1. короткое основание BC:
BC=
см.
2. Длины отрезков, на которые делятся диагонали в точке пересечения O:
короткая диагональ делится на отрезки CO=
см и AO=
см;
длинная диагональ делится на отрезки BO=
см и DO=
см
1. Начнем с определения, что такое прямоугольная трапеция. Прямоугольная трапеция - это четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, а две другие стороны - не параллельны. Также, диагонали трапеции перпендикулярны друг другу.
2. У нас есть трапеция ABCD, где AB - короткая боковая сторона и AD - длинное основание. AB равна 9 см, а AD равно 12 см.
3. Знание, что диагонали прямоугольной трапеции перпендикулярны друг другу, помогает нам сделать важное наблюдение. Если диагонали перпендикулярны, то значит они делят трапецию на четыре прямоугольных треугольника. То есть, точка пересечения диагоналей, обозначенная как O, будет серединой каждой диагонали.
4. Давайте решим первую подзадачу. Нам нужно найти длину короткого основания BC. Поскольку диагонали перпендикулярны и точка O - это середина длинной диагонали, BC - это отрезок между точками O и C.
5. Для решения этого, нам нужно знать, что диагонали трапеции делятся пополам в точке их пересечения. Значит, OT = TC, где T - середина длинной диагонали AD. Мы знаем, что AD равно 12 см, поэтому AT и TD - это по 6 см.
6. Теперь, мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике OTC, чтобы найти BC. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. В нашем случае, TO и TC - это катеты, а BC - гипотенуза. Поэтому, мы можем записать следующее уравнение: TO^2 + TC^2 = BC^2
7. Очень важно знать, что треугольники OTC и OAB подобны. Они имеют общий угол O и похожие углы. Кроме того, их стороны пропорциональны. Из этой подобности, мы можем сделать дополнительное наблюдение: BC/AB = TC/OB. Мы знаем, что AB = 9 см, поэтому мы можем переписать это уравнение как BC/9 = TC/OB.
8. Мы также знаем, что OT = TC, значит, TC = 6 см. Теперь мы можем переписать пропорцию так: BC/9 = 6/OB.
9. Таким образом, мы получили систему уравнений: TO^2 + TC^2 = BC^2 и BC/9 = 6/OB
10. Теперь, чтобы решить эту систему, нам нужно найти значение OB. Обратимся к одному из прямоугольных треугольников AOB или BOC. В этом треугольнике, мы можем применить теорему Пифагора, так как у нас есть один гипотенуза (короткая диагональ) и один катет (короткое основание).
11. Рассмотрим треугольник AOB. Мы знаем, что AB = 9 см и AO = 6 см (половина короткой диагонали), поэтому мы можем использовать теорему Пифагора для него: AB^2 = AO^2 + OB^2. Подставим известные значения: 9^2 = 6^2 + OB^2.
12. Решим получившееся уравнение: 81 = 36 + OB^2. Сократим 36 с обеих сторон и получим: OB^2 = 45.
13. Возьмем квадратный корень от обеих сторон: OB = √45, что равно примерно 6.71 см.
14. Теперь мы знаем значение OB, поэтому мы можем возвратиться к пропорции BC/9 = 6/OB и найти BC. Подставим известные значения: BC/9 = 6/6.71.
15. Решим это уравнение. Умножим обе стороны на 9: BC = 6/6.71 * 9. После упрощения получим BC = 8 см (приближенно).
Таким образом, ответ на первую подзадачу: короткое основание BC равно примерно 8 см.
Теперь перейдем ко второй подзадаче.
16. Нам нужно найти длины отрезков, на которые делятся диагонали в точке пересечения O. Как мы уже обсудили, точка O - это середина каждой диагонали.
17. Мы можем использовать пропорциональность диагоналей и их отрезков, чтобы решить эту подзадачу. То есть, CO/OA = BO/OD.
18. Мы уже знаем, что OA = 6 см и OD = 6 см (половина длинной диагонали). Давайте обозначим CO как x и BO как y.
19. Теперь мы можем записать уравнение пропорции: x/6 = y/6.
20. Решим это уравнение. Умножим обе стороны на 6: x = y.
21. Получается, что отрезки CO и BO равны. Значит, CO = BO.
22. Ответ на вторую подзадачу: короткая диагональ делится на отрезки CO и AO. Из-за перпендикулярности диагоналей, длинная диагональ также делится на отрезки BO и DO. В каждом случае, длина отрезков равна 6 см.
Надеюсь, это решение помогло тебе понять, как решать задачи о прямоугольной трапеции. Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать их! Я всегда готов помочь.