Question

1) На рисунке 108 PO=OM, угол PKO=MTO=90. Докажите, что PK=MT.

2) Один из угол прямоугольного треугольника равен 30, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 36см. Найдите эти стороны треугольника

Answer 1

1) Дано:
На рисунке 108 PO=OM, угол PKO=MTO=90.

Доказательство:
В треугольнике PKO и треугольнике MTO:
Угол PKO=MTO, так как на рисунке дано.

Угол PKO=90°, так как на рисунке дано.

Угол MTO=90°, так как на рисунке дано.

Треугольник PKO и треугольник MTO - прямоугольные треугольники.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза - это самое длинное ребро, соединяющее два острых угла.

Из условия дано, что гипотенуза PK (PO) равна гипотенузе MTO (OM).

Теперь рассмотрим катеты треугольников:
PK - это один из катетов треугольника PKO.

MT - это один из катетов треугольника MTO.

Так как треугольники PKO и MTO прямоугольные и имеют равные гипотенузы, то их катеты тоже равны.

Следовательно, PK = MT.

2) Дано:
Один из углов прямоугольного треугольника равен 30°.
Сумма гипотенузы и меньшего катета равна 36 см.

Найти стороны треугольника.

Пусть угол 30° является меньшим углом в треугольнике и противоположным меньшему катету, а гипотенуза обозначена как c.

Так как один из углов прямоугольного треугольника равен 30°, то другой острый угол будет равен 90° - 30° = 60°.

Теперь мы знаем оба острых угла в треугольнике: 30° и 60°.

В прямоугольном треугольнике с углами 30° и 60°, соответствующие стороны всегда соотносятся как 1 : √3 : 2.

То есть, меньший катет будет равен x, гипотенуза будет равна c, а больший катет будет равен 2x, где x - это любое число.

Согласно условию задачи, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 36 см, тогда:

c + x = 36.

Теперь воспользуемся соотношением сторон треугольника: 1 : √3 : 2.

Мы знаем, что меньший катет равен x и гипотенуза равна c.

Тогда, больший катет равен 2x.

Из соотношения сторон треугольника, получаем:

x : √3 : 2x.

Так как сумма гипотенузы и меньшего катета равна 36, можем записать:

c + x = 36.

Теперь мы имеем два уравнения:

c + x = 36,
x + √3x + 2x = 36.

Первое уравнение можно решить относительно c:

c = 36 - x.

Затем мы подставляем это значение во второе уравнение:

x + √3x + 2x = 36.

Упрощаем уравнение:

3x + √3x = 36.

Выражаем x через √3:

(3 + √3)x = 36.

Теперь делим обе части на (3 + √3):

x = 36 / (3 + √3).

Рационализуем знаменатель, умножая его на сопряженное значение (3 - √3):

x = (36 / (3 + √3)) * (3 - √3) / (3 - √3).

Упрощаем выражение:

x = (36(3 - √3)) / (9 - 3)
x = 108 - 36√3.

Теперь найдем гипотенузу:

c + x = 36.

c + 108 - 36√3 = 36.

c = 36 - 108 + 36√3.

c = -72 + 36√3.

Таким образом, меньший катет равен 108 - 36√3 см, гипотенуза равна -72 + 36√3 см, а больший катет равен 2(108 - 36√3) см.