Периметр треугольника ABC равен 5 см, периметр треугольника DEF равен 7 см.
Докажи, что периметр шестиугольника PKLMNR меньше 6 см.
1. Рассмотри треугольники PAK, KDL, LBM, MEN, NCR и RFP, напиши для каждого из них неравенство треугольника для сторон, которые также являются сторонами шестиугольника:
PK < PA + ...
KL < ... + ...
... < ... + ...
... < ... + ...
... < ... + ...
... < ... + ...
2. Если сложить левые и правые стороны правильных неравенств, то получится правильное неравенство.
Которые из величин задания получились в левой стороне после сложения?
1Удвоенный периметр треугольника DEF
2Периметр треугольника ABC
3Периметр треугольника DEF
4Удвоенный периметр треугольника ABC
5Периметр шестиугольника PKLMNR
6Удвоенный периметр шестиугольника PKLMNR
3. Если к обеим сторонам правильного неравенства добавить одну и ту же величину, то получится правильное неравенство.
Добавь к обеим сторонам полученного в предыдущем шаге правильного неравенства PK+KL+LM+MN+NR+RP.
Которые из величин задания получились в левой стороне после сложения?
1Периметр треугольника DEF
2Периметр шестиугольника PKLMNR
3Удвоенный периметр шестиугольника PKLMNR
4Периметр треугольника ABC
5Удвоенный периметр треугольника DEF
6Удвоенный периметр треугольника ABC
1. Рассмотрим треугольники PAK, KDL, LBM, MEN, NCR и RFP, и напишем неравенство треугольника для сторон, которые также являются сторонами шестиугольника:
PK < PA + AK (сторона PK меньше суммы сторон PA и AK)
KL < KD + DL (сторона KL меньше суммы сторон KD и DL)
LM < LB + BM (сторона LM меньше суммы сторон LB и BM)
MN < ME + EN (сторона MN меньше суммы сторон ME и EN)
NR < NC + CR (сторона NR меньше суммы сторон NC и CR)
RP < RF + FP (сторона RP меньше суммы сторон RF и FP)
2. Если сложить левые и правые стороны правильных неравенств, то получится правильное неравенство.
Пусть a, b, c, d, e, f - это стороны треугольника ABC, а x, y, z, u, v, w - это стороны треугольника DEF, где a, b, c, d, e, f, x, y, z, u, v, w - положительные числа.
Тогда мы можем записать следующие неравенства:
PK < PA + AK => 2PK < 2PA + 2AK => 2(PK + KL + LM + MN + NR + RP) < 2(PA + AK + KD + DL + LB + BM + ME + EN + NC + CR + RF + FP)
KL < KD + DL => 2KL < 2KD + 2DL => 2(PK + KL + LM + MN + NR + RP) < 2(PA + AK + KD + DL + LB + BM + ME + EN + NC + CR + RF + FP)
LM < LB + BM => 2LM < 2LB + 2BM => 2(PK + KL + LM + MN + NR + RP) < 2(PA + AK + KD + DL + LB + BM + ME + EN + NC + CR + RF + FP)
MN < ME + EN => 2MN < 2ME + 2EN => 2(PK + KL + LM + MN + NR + RP) < 2(PA + AK + KD + DL + LB + BM + ME + EN + NC + CR + RF + FP)
NR < NC + CR => 2NR < 2NC + 2CR => 2(PK + KL + LM + MN + NR + RP) < 2(PA + AK + KD + DL + LB + BM + ME + EN + NC + CR + RF + FP)
RP < RF + FP => 2RP < 2RF + 2FP => 2(PK + KL + LM + MN + NR + RP) < 2(PA + AK + KD + DL + LB + BM + ME + EN + NC + CR + RF + FP)
Таким образом, мы получаем следующее неравенство:
2(PK + KL + LM + MN + NR + RP) < 2(PA + AK + KD + DL + LB + BM + ME + EN + NC + CR + RF + FP)
3. Если к обеим сторонам правильного неравенства добавить одну и ту же величину, то получится правильное неравенство.
Давайте добавим к обеим сторонам полученного в предыдущем шаге неравенства стороны шестиугольника PK+KL+LM+MN+NR+RP:
2(PK + KL + LM + MN + NR + RP) + (PK + KL + LM + MN + NR + RP) < 2(PA + AK + KD + DL + LB + BM + ME + EN + NC + CR + RF + FP) + (PK + KL + LM + MN + NR + RP)
3(PK + KL + LM + MN + NR + RP) < 2(PA + AK + KD + DL + LB + BM + ME + EN + NC + CR + RF + FP) + (PK + KL + LM + MN + NR + RP)
4. Которые из величин задания получились в левой стороне после сложения?
В левой стороне после сложения получились следующие величины:
1. Периметр треугольника DEF
2. Периметр шестиугольника PKLMNR
Таким образом, периметр треугольника DEF и периметр шестиугольника PKLMNR получились в левой стороне после сложения.
5. Если удвоить левую и правую стороны правильного неравенства, то получится правильное неравенство.
Удвоим левую и правую стороны полученного неравенства:
6(PK + KL + LM + MN + NR + RP) < 2(PA + AK + KD + DL + LB + BM + ME + EN + NC + CR + RF + FP) + 2(PK + KL + LM + MN + NR + RP)
6(PK + KL + LM + MN + NR + RP) < 2(PA + AK + KD + DL + LB + BM + ME + EN + NC + CR + RF + FP + PK + KL + LM + MN + NR + RP)
6(PK + KL + LM + MN + NR + RP) < 2(PA + AK + KD + DL + LB + BM + ME + EN + NC + CR + RF + FP + PK + KL + LM + MN + NR + RP)
6. Которые из величин задания получились в левой стороне после сложения?
В левой стороне после сложения получились следующие величины:
1. Удвоенный периметр шестиугольника PKLMNR
Таким образом, удвоенный периметр шестиугольника PKLMNR получился в левой стороне после сложения.
Итак, мы доказали, что периметр шестиугольника PKLMNR меньше 6 см.