Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат диагональ параллелограмма равна см а его измерения относятся как 1:1:2. найдите a) измерение параллелепипеда b) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основанию
Проведем МА⊥α и МВ⊥β. МА = 12 - расстояние от М до α, МВ = 16 - расстояние от М до β.
Пусть плоскость АМВ пересекает ребро двугранного угла - прямую а - в точке С. МА⊥α, а⊂α, значит МА⊥а. МВ⊥β, а⊂β, значит МВ⊥а. Так как прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости АМВ, то она перпендикулярна этой плоскости, следовательно она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости, ⇒ а⊥АС, а⊥ВС, ⇒∠АСВ = 90° - линейный угол двугранного угла; а⊥МС, ⇒ МС - искомое расстояние.
Несколько запутанная задача. Если обозначить (чтобы не тащить "длинные корни") AB = a; BM = m; AC = b; расстояние от С до BM = p; То Sbmc = S/2 = m*p/2; m = S/p; то есть можно считать m заданным. В числах m = 11/2; Пусть ∠ABM = α; тогда Sabm = S/2 = a*m*sin(α)/2; sin(α) = S/(a*m) = p/a; (любопытно!) cos(α) = √(1 - (p/a)^2); AM^2 = (b/2)^2 = a^2 + m^2 - 2*a*m*cos(α); а это уже решение было бы, если бы все это было возможно. В условии p > a, что никак не может быть. Если из точки A на BM опустить перпендикуляр, то он как раз равен p (расстояния от A до BM и от С до BM равны). Таким соотношение sin(α) = p/a; получается сразу. А катет не может быть больше гипотенузы.
МА = 12 - расстояние от М до α,
МВ = 16 - расстояние от М до β.
Пусть плоскость АМВ пересекает ребро двугранного угла - прямую а - в точке С.
МА⊥α, а⊂α, значит МА⊥а.
МВ⊥β, а⊂β, значит МВ⊥а.
Так как прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости АМВ, то она перпендикулярна этой плоскости, следовательно она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости, ⇒
а⊥АС, а⊥ВС, ⇒∠АСВ = 90° - линейный угол двугранного угла;
а⊥МС, ⇒ МС - искомое расстояние.
МАСВ - прямоугольник, АС = МВ = 16.
Из прямоугольного треугольника АМС по теореме Пифагора:
МС = √(МА² + АС²) = √(16² + 12²) = √(256 + 144) = √400 = 20