Сперва поймем, что треугольник ABC - остроугольный (если он прямоугольный. то хотя бы одна из точек M, N совпадет с какой-нибудь вершиной, а если тупоугольный - M и N попросту не будет, окружность будет пересекать стороны только в точках D и E)
Сначала решим в лоб: можно найти все углы в треугольнике. Дальше, ввиду подобия треугольников, узнаем углы EDC и DEC. Так как треугольники ODN, OME равнобедренные, можно найти углы EOM и DON, а значит, и NOM. Наконец, зная ON, OM и угол между ними, по теореме косинусов найдется NM.
Попробуем реализовать. cos A = (-a^2 + b^2 + c^2)/2bc cos B = (a^2 - b^2 + c^2)/2ac
cos NOD = cos(180 - 2A) = -cos(2A) = 1 - 2cos^2 A sin NOD = sqrt(1 - cos^2 NOD) = 2 sqrt(cos A - cos^2 A)
cos MOE = 1 - 2cos^2 B sin MOE = sqrt(1 - cos^2 MOE) = 2 sqrt(cos B - cos^2 B)
cos MON = cos(180 - (NOD + MOE)) = -cos(NOD + MOE) = sin NOD sin MOE - cos NOD cos MOE = 4 sqrt((cos A - cos^2 A)(cos B - cos^2 B)) - (1 - 2cos^2 A)(1 - 2cos^2 B)
MN = с/4 * sqrt(1 - cos MON)
При наличии некоторого терпения можно подставить вместо угла всё то, что насчиталось по ходу рассуждений, и получить "симпатичный" ответ MN = c(a^2 + b^2 - c^2)/4ab
Теперь попробуем угадать хорошее решение (без издевательских выкладок). a^2 + b^2 - c^2 - по теореме косинусов это 2ab cos C, так что MN = c * 2ab cos C / 4ab = c/2 * cos C. Вспомним, что угол, образованный секущими, пересекающимися вне круга, равен половине разности дуг, заключенных между сторонами. Тогда C = (180 - MON)/2, MON = 180 - 2C. MN = 2 * OM * sin (MON/2) = 2 * c/4 * sin (90 - C) = c/2 * cos(C), ч.т.д.
Вписанный угол (<AДB и <ACB), опирающийся на диаметр,—прямой, так как он опирается на половину окружности. Следовательно ΔАСВ и ΔАВД - прямоугольные, АВ - гипотенуза. Из ΔАСВ АВ=√(АС²+ВС²)=√(а²+b²) Из ΔАВД (он равнобедренный АД=ВД) АВ=√(АД²+ВД²)=АД√2 Если приравняем, то можно найти АД: √(а²+b²)=АД√2; АД=√((а²+b²)/2) Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны: <САB = <СДB, Из ΔАСВ cos <САB = АC/АВ=b/√(а²+b²) Из ΔCДВ по теореме косинусов: ВС²=СД²+ВД²-2*СД*ВД* cos <СДB а²=СД²+(а²+b²)/2-2СД*√((а²+b²)/2)*b/√(а²+b²) а²=СД²+(а²+b²)/2-2СД*b/√2 2СД²-2√2*b*СД+b²-а²=0 D=(-2√2*b)²-4*2*(b²-а²)=8a²=(2√2*а)² CД1=(2√2*b-2√2*а)/4=(b-a)/√2 (не подходит) CД2=(2√2*b+2√2*а)/4=(b+a)/√2 ответ: (b+a)/√2
Сначала решим в лоб: можно найти все углы в треугольнике. Дальше, ввиду подобия треугольников, узнаем углы EDC и DEC. Так как треугольники ODN, OME равнобедренные, можно найти углы EOM и DON, а значит, и NOM. Наконец, зная ON, OM и угол между ними, по теореме косинусов найдется NM.
Попробуем реализовать.
cos A = (-a^2 + b^2 + c^2)/2bc
cos B = (a^2 - b^2 + c^2)/2ac
cos NOD = cos(180 - 2A) = -cos(2A) = 1 - 2cos^2 A
sin NOD = sqrt(1 - cos^2 NOD) = 2 sqrt(cos A - cos^2 A)
cos MOE = 1 - 2cos^2 B
sin MOE = sqrt(1 - cos^2 MOE) = 2 sqrt(cos B - cos^2 B)
cos MON = cos(180 - (NOD + MOE)) = -cos(NOD + MOE) = sin NOD sin MOE - cos NOD cos MOE = 4 sqrt((cos A - cos^2 A)(cos B - cos^2 B)) - (1 - 2cos^2 A)(1 - 2cos^2 B)
MN = с/4 * sqrt(1 - cos MON)
При наличии некоторого терпения можно подставить вместо угла всё то, что насчиталось по ходу рассуждений, и получить "симпатичный" ответ
MN = c(a^2 + b^2 - c^2)/4ab
Теперь попробуем угадать хорошее решение (без издевательских выкладок). a^2 + b^2 - c^2 - по теореме косинусов это 2ab cos C, так что MN = c * 2ab cos C / 4ab = c/2 * cos C.
Вспомним, что угол, образованный секущими, пересекающимися вне круга, равен половине разности дуг, заключенных между сторонами. Тогда C = (180 - MON)/2, MON = 180 - 2C. MN = 2 * OM * sin (MON/2) = 2 * c/4 * sin (90 - C) = c/2 * cos(C), ч.т.д.