Question

Решите Геометрия 8 класс
а) В треугольнике АВС (АС=ВС) высота СН=20, косинус угла А= 21/29. Найдите АС
б) В треугольнике АВС (АС=ВС) высота СН=1, косинус угла А= 2 корня из 6/5. Найдите АС

Answer 1

а) Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов, которая гласит:
в косинусу угла между двумя сторонами равен сумме квадратов длин двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
У нас даны следующие данные:
СН = 20 (высота),
косинус угла А = 21/29.

Нам нужно найти АС (сторона).

Пусть АС = х.

Так как АС = ВС, то ВС тоже равно х.

Применим теорему косинусов:
cos А = (ВС² + СН² - АС²) / (2 * ВС * СН).

Подставим известные значения:
21/29 = (х² + 20² - х²) / (2 * х * 20).

Упростим выражение:
21/29 = (400 - х²) / (40х).

Умножим обе части уравнения на 29 * 40х:
21 * 29 * 40х / 29 = 400 * 29 * 40х / (40х).

Упростим выражение:
21 * 40х = 400 * 29.

Распишем уравнение:
840х = 11600.

Теперь найдем АС:
х = 11600 / 840.

Выполним деление:
х = 13,81.

Получаем, что АС = ВС = 13,81.

б) Для решения второй задачи также воспользуемся теоремой косинусов, но с другими данными.
СН = 1 (высота),
косинус угла А = 2√6/5.

Нам нужно найти АС (сторону).

Пусть АС = х.

Так как АС = ВС, то ВС тоже равно х.

Применим теорему косинусов:
cos А = (ВС² + СН² - АС²) / (2 * ВС * СН).

Подставим известные значения:
2√6/5 = (х² + 1² - х²) / (2 * х * 1).

Упростим выражение:
2√6/5 = (1 - х²) / (2х).

Умножим обе части уравнения на 5 * 2х:
2√6 * 2х / 5 = 1 * 5 * 2х / (2х).

Упростим выражение:
4√6х = 10.

Разделим обе части на 4√6:
х = 10 / (4√6).

Упростим выражение:
х = 5 / (2√6).

Умножим числитель и знаменатель на √6, чтобы избавиться от знака корня в знаменателе:
х = 5 / (2√6) * (√6 / √6).

Упростим выражение:
х = 5√6 / (2 * 6).

Распишем деление:
х = 5√6 / 12.

Упростим выражение:
х = √6 / 12.

Таким образом, мы получаем, что АС = ВС = √6 / 12.