На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника АВС вне его построены квадраты АСDЕ и СВFК (вершины обоих квадратов перечислены против часовой стрелки), Р – середина КD. Доказать, что СР и АВ перпендикулярны.
Для решения данной задачи, докажем, что отрезок СР перпендикулярен отрезку АВ. Для этого рассмотрим следующие шаги:
Шаг 1: Рисуем прямоугольный треугольник АВС, где АВ - гипотенуза, а С - противоположный уголу 90 градусов. На катетах АС и ВС построены квадраты АСDЕ и СВFК соответственно.
Шаг 2: Обозначим точку пересечения прямых СР и АВ как М.
Шаг 3: Заметим, что отрезок АС является диаметром окружности, описанной около квадрата АСDЕ. Так как Р - середина отрезка КD, то отрезок КР является радиусом этой окружности.
Шаг 4: Также заметим, что отрезок СМ является радиусом окружности, описанной около треугольника АСР. Так как Р - середина отрезка КD, то СМ равно радиусу окружности, описанной около квадрата АСDЕ.
Шаг 5: Из шага 4 следует, что треугольник СМР является равнобедренным, так как СМ и РМ - радиусы одной и той же окружности.
Шаг 6: Так как треугольник СМР равнобедренный, то угол СРМ равен углу ПСМ, так как они противолежат равным сторонам.
Шаг 7: Угол ПСМ также равен углу А, так как А - центр окружности, описанной около квадрата АСDЕ, а СМ - её радиус.
Шаг 8: Из шагов 6 и 7 следует, что угол СРМ равен углу А.
Шаг 9: Заметим, что угол А является прямым углом, так как треугольник АВС прямоугольный.
Шаг 10: Из шагов 8 и 9 следует, что угол СРМ равен прямому углу.
Шаг 11: Исходя из шага 10, мы можем сделать вывод, что отрезок СР перпендикулярен отрезку АВ.
Таким образом, мы доказали, что отрезок СР и отрезок АВ перпендикулярны.
Шаг 1: Рисуем прямоугольный треугольник АВС, где АВ - гипотенуза, а С - противоположный уголу 90 градусов. На катетах АС и ВС построены квадраты АСDЕ и СВFК соответственно.
Шаг 2: Обозначим точку пересечения прямых СР и АВ как М.
Шаг 3: Заметим, что отрезок АС является диаметром окружности, описанной около квадрата АСDЕ. Так как Р - середина отрезка КD, то отрезок КР является радиусом этой окружности.
Шаг 4: Также заметим, что отрезок СМ является радиусом окружности, описанной около треугольника АСР. Так как Р - середина отрезка КD, то СМ равно радиусу окружности, описанной около квадрата АСDЕ.
Шаг 5: Из шага 4 следует, что треугольник СМР является равнобедренным, так как СМ и РМ - радиусы одной и той же окружности.
Шаг 6: Так как треугольник СМР равнобедренный, то угол СРМ равен углу ПСМ, так как они противолежат равным сторонам.
Шаг 7: Угол ПСМ также равен углу А, так как А - центр окружности, описанной около квадрата АСDЕ, а СМ - её радиус.
Шаг 8: Из шагов 6 и 7 следует, что угол СРМ равен углу А.
Шаг 9: Заметим, что угол А является прямым углом, так как треугольник АВС прямоугольный.
Шаг 10: Из шагов 8 и 9 следует, что угол СРМ равен прямому углу.
Шаг 11: Исходя из шага 10, мы можем сделать вывод, что отрезок СР перпендикулярен отрезку АВ.
Таким образом, мы доказали, что отрезок СР и отрезок АВ перпендикулярны.