Question

Нужно с дано и рисунком :
1. В треугольник вписана окружность так, что три из шести
получившихся отрезков касательных равны 2см, 4см, 6см.
Найдите периметр треугольника.
2. Хорды АВ и СD пересекаются в точке Е так, что
АЕ=3см, ВЕ=36 см, СЕ:DE=3:4. Найдите величину хорды
CD.
3. Точки А и В делят окружность с центром О на дуги
АМВ и АСВ так, что дуга АСВ на 80
0 меньше дуги АМВ,
АМ – диаметр окружности. Найдите величины углов АМВ,
АВМ, АСВ.

Answer 1

Задача 1 (рисунок 1).

1) МВ и КВ, МА и ТА, КС и ТС - отрезки касательных, проведённых из одной точки. Они равны по свойству касательных. Следовательно, треугольник АВС разбивается на три пары равных (попарно) отрезков.

PΔАВС=2*2+4*2+6*2=24см.

Задача 2 (рисунок 2).

3:4=3х+4х

По теореме о пересекающихся хордах:

36*3=3х*4х

108=12х²

х=3.

CD=3*7=21см.

Задача 3 (рисунок 3).

Сначала ищем градусную меру дуг АМВ и АСВ.

Если 2 дуги, на которые делит окружность любая хорда, вместе равны 360°, то:

(360-80):2=140° - дуга АСВ.

Тогда дуга АМВ = 140+80=220°. (в сумме 360).

Дальше пользуемся свойствами вписанных и центральных углов:

1) ∠АСВ=150°, ∠АОВ=210° (центральные ∠).

2) ∠АМВ=половине АОВ=75°, ∠АВМ=половине АОМ=90°,

3)∠АСВ=половине АМВ=105° (вписанные углы).

ответ: 210° - ∠АМВ, 90° - ∠АВМ, 105° - ∠АСВ.