Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.
Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну.
Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.
Признак параллельности прямой и плоскости:
Если прямая, принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Признак параллельности плоскостей:
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости:
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.
Теорема о трех перпендикулярах:
Для того, чтобы прямая лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна проекции наклонной.
Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости и проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.
Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.
Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной.
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, расположенной в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.
Если прямая параллельна плоскости, то она параллельна некоторой прямой на этой плоскости.
Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
Все точки прямой, параллельной плоскости, одинаково удалены от этой плоскости.
прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости:
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.
Теорема о трех перпендикулярах:
Для того, чтобы прямая лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна проекции наклонной.
Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости и проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.
Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.
Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной.
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, расположенной в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.
Если прямая параллельна плоскости, то она параллельна некоторой прямой на этой плоскости.
Проведем радиусы от центра окружности О до точек касания В и С. И соедини центр окружности с точкой А. рассмотрим получившиеся треугольники АВО и АСО, в них: угол АВО = угол АСО = 90 гр. (св-во касательных) , следовательно, треугольники АВО и АСО прямоугольные. А чтобы доказать равенство двух прямоуг. треуг-ов достаточно найти 2 равных элемента: - катет ОВ = катет ОС (радиусы окружности) - ОА - общ. гипотенуза из этого следует, что треугольники равны, следовательно все элементы этих треуг-ов равны. а следовательно равны и катеты АС и АВ ч. т. д.
Действительно: CB₁/AB₁=BC/BA =14/15 (свойство биссектрисы BB₁ в ΔABC) ⇒ CB₁=14k ,AB₁ =15k ,CA=CB₁+AB₁ =29k ⇒ CB₁/CA =14/29. --- аналогично : A₁P/PA=BA₁/BA =7/15 (свойство биссектрисы BP в ΔABA₁) ⇒A₁P=7m, PA =15m , A₁A=A₁P+PA) =22m ⇒ A₁P/A₁A =7/22.
Таким образом получили: S(A₁PB₁C) =S*14/29 -(S/2)*(7/22). Площадь треугольника вычисляем по формуле Герона : S =√p(p-a)(p-b)(p-c) =√21(21-14)(21-15)(21-13) =√21*7*6*8 = √(7*7*3*3*2*2*4) =7*3*4 =84.
Основные определения и теоремы
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.
Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну.
Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.
Признак параллельности прямой и плоскости:
Если прямая, принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Признак параллельности плоскостей:
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости:
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.
Теорема о трех перпендикулярах:
Для того, чтобы прямая лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна проекции наклонной.
Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости и проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.
Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.
Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной.
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, расположенной в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.
Если прямая параллельна плоскости, то она параллельна некоторой прямой на этой плоскости.
Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
Все точки прямой, параллельной плоскости, одинаково удалены от этой плоскости.
прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости:
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.
Теорема о трех перпендикулярах:
Для того, чтобы прямая лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна проекции наклонной.
Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости и проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.
Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.
Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной.
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, расположенной в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.
Если прямая параллельна плоскости, то она параллельна некоторой прямой на этой плоскости.