1) △BAO, △BCO равнобедренные (AE, EC являются одновременно медианами и высотами) => BA=OA, BC=OC OA=OB=OC (радиусы окружности) OA=OB=OC=BA=BC => △BAO, △BCO равносторонние => ∠ABO=∠OBC=60 (в равностороннем треугольнике все углы равны 60) ∠ABC=∠ABO+∠OBC=120 ∠ADC=180-∠ABC=60 (сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна 180) ∠BAD=∠DCB=90 (вписанные углы, опирающиеся на диаметр)
2) BH=9; AC=24
AB=BC AH=AC/2 (в равнобедренном треугольнике высота является медианой) AB=√(AH^2+BH^2) = √(24^2/4 +9^2) =15
Центр вписанной в треугольник окружности - точка пересечения биссектрис. Биссектрисы треугольника делятся точкой пересечения в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины. BO/OH =(AB+BC)/AC = 2AB/AC =30/24 =5/4 r= OH = BH*4/9 =4
∆ АDК и АDС прямоугольные и равны по катету ( DС=DК -дано) и общей гипотенузе АD. ⇒
АК=АС и углы САD=КAD,⇒
АД - биссектриса угла ВАС.
Примем коэффициент отношения АК:КВ равным а. Тогда АВ=9а+8а=17а., АС=АК=8а
По т.Пифагора ВС=√(АВ²-АС²)=√225a²=15a
Периметр АВС=17а+15а+8а=40а
40а=80
а=2
СВ=30, АС=16, АВ=34 .
Биссектриса угла треугольника делит противолежащую углу сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:
СД:ДВ=АС:АВ
Примем CD=х
х:(30-х)=16:34
34х=480-16х
50х=480
х=9,6 (ед. длины)