f(x) = x³ - 3x² + 4
1) Область определения D(f) = R. Функция непрерывна.
2) Пересечение с осью OY : x = 0; y = 4
3) Нули функции x³ - 3x² + 4 = 0 ⇔
x³ - 4x² + x² +4x - 4x + 4 = 0 ⇔
x²(x+1) - 4x(x+1) + 4(x+1) = 0 ⇔
(x² - 4x + 4)(x+1) = 0 ⇔ (x - 2)²(x + 1) = 0
x₁ = -1; x₂ = 2 - нули функции.
4) Интервалы знакопостоянства:
y < 0 при x ∈ (-∞; -1)
y > 0 при x ∈ (-1; 2) ∪ (2; +∞)
5) Производные функции
f'(x) = (x³ - 3x² + 4)' = 3x² - 6x
f"(x) = (3x² - 6x)' = 6x - 6 = 6(x - 1)
6) Экстремумы функции
3x² - 6x = 0 ⇔ 3x (x - 2) = 0 ⇒ x₃ = 0; x₄ = 2
f"(x₃) = f"(0) = 6(0 - 1) = -6 < 0 ⇒ x₃ = 0 - точка максимума
f"(x₄) = f"(2) = 6(2 - 1) = 6 > 0 ⇒ x₄ = 2 - точка минимума
f"(x) = 0 ⇔ 6(x - 1) = 0 ⇒ x₅ = 1 - точка перегиба
7) x ∈ (-∞; 0] ∪ [2; +∞) - функция возрастает
x ∈ [0; 2] - функция убывает
x ∈ (-∞; 1) - функция выпуклая вверх
x ∈ (1; +∞) - функция выпуклая вниз
8) f (-x) = (-x)³ - 3(-x)² + 4 = -x³ - 3x² + 4 ≠ f(x) ≠ -f(x)
Функция не является чётной, не является нечётной.
Функция не является периодической.
9) Область значений E(f) = R
10) f(x₃) = f(0) = x³ - 3x² + 4 = 4 - значение функции в точке максимума
f(x₄) = f(2) = 2³ - 3·2² + 4 = 0 - значение функции в точке минимума
f(x₅) = f(1) = 1³ - 3·1² + 4 = 2 - значение функции в точке перегиба
11) График функции в приложении.
Отрезок RN разделен точкой T (-1;2) в отношении 3:4, считая от точки R. Найти координаты точки R, если N (-3;5).