Правильная четырёхугольная пирамида MABCD
AB=BC=CD=AD = 4 см , О - точка пересечения диагоналей
OK⊥CM; OK = 2 см
ABCD - квадрат ⇒ AC = BD = AB*√2 = 4√2 см
ΔOKC : ∠OKC=90°; OC = AC/2 = 2√2 см; OK = 2 см
KC² = OC² - OK² = (2√2)² - 2² = 8-4 = 4 ⇒ KC = 2 см ⇒
ΔOKC - прямоугольный равнобедренный
ΔMOC ~ ΔOKC по двум углам: прямому и общему острому ∠OCM ⇒
ΔMOC - прямоугольный равнобедренный ⇒
OM = OC = 2√2 см: MK = KC = 2 см ⇒ MC = 2*2 = 4 см
Так как пирамида правильная, то MD = MC = 4 см ⇒
ΔCMD - равносторонний : MD = MC = 4 см = CD ⇒
Угол при вершине пирамиды равен 180°/3 = 60°
В равностороннем треугольнике медиана DK - она же высота ⇒
DK⊥MC. Аналогично BK⊥MC ⇒
Угол между смежными боковыми гранями равен углу BKD
DK = DC*sin 60° = 4 * √3/2 = 2√3 см
ΔBKD : BD = 4√2 см; DK = BK = 2√3 см
Теорема косинусов
BD² = BK² + DK² - 2BK*DK*cos ∠BKD
(4√2)² = (2√3)² + (2√3)² - 2 * 2√3 * 2√3 * cos∠BKD
32 = 24 - 24*cos∠BKD
24cos∠BKD = -8
cos∠BKD = -1/3
∠BKD = arccos (-1/3) ≈ 109,5°
ΔFMO: ∠FOM=90°; OM = 2√2 см; MF = 2√3 см
sin∠MFO = OM / MF = 2√2 / (2√3)= \sqrt{ \frac{2}{3} }32
∠MFO = arcsin (\sqrt{ \frac{2}{3} }32 ) ≈ 54,7°
MF⊥AD и OF⊥AD ⇒
∠MFO - угол между боковой гранью и гранью основания
ответ: угол при вершине 60°;
угол между смежными боковыми гранями arccos (-1/3) ≈ 109,5°;
угол между боковой гранью и гранью основания равен
arcsin (\sqrt{ \frac{2}{3} }32 ) ≈ 54,7°
двугранный угол при основании равен 60°.
Проекция апофемы A на основание равна (1/3) высоты h правильного треугольника в основании пирамиды.
Находим высоту h = а*cos 30° = √3*(√3/2) = 3/2.
1/3 её равна (3/2)/6 = 3/6 = 1/2.
Находим апофему А: А = ((1/3)h)/cos 60° = (1/2)/(1/2) = 1.
Площадь So основания равна:
So = a²√3/4 = (√3)²√3/4 = 3√3/4.
Площадь Sбок боковой поверхности равна:
Sбок = (1/2)РА = (1/2)*(3*√3)*1 = 3√3/2.
Площадь S полной поверхности правильной треугольной пирамиды равна: S = So+Sбок = 3√3/4 + 3√3/2 = 9√3/4.