Question

В треугольнике ABC угол C — прямой, AM=MC;BN=NC, CH — высота.
a) Докажи, что MH⊥NH.
б) Пусть AC∩NH=P;BC∩MH=Q. Рассчитай площадь треугольника PQM, если AH= 72 и BH= 36.

а) Некоторые утверждения и этапы доказательства:
AM=<...>=<...>; BN=<...>=<...>.
*варианты ответов: CN, BH, MH, AH, MC, MN, CH, HN
б)1)19442√2
2)58322√2
3)19443√3
4)5832

Answer 1

а) Треугольники АНС и ВНС прямоугольные, поэтому MH=0,5*АС=СМ и NH=0,5*CB=CN. Значит, треугольники MCN и MHN равны по трём сторонам, откуда <MHN = <MCN = 90 градусов.
б) В прямоугольном треугольнике АВС имеем: CH=√АН*ВН=√2592.
В прямоугольных треугольниках МНР и MCQ с общим углом CMH получаем:
МН/МР=МС/МQ=сos<СМН,
поэтому треугольники МНС и MРQ подобны с коэффициентом подобия сos<СМН.

Площадь S треугольника МНС равна половине площади треугольника АНС, то есть S=(АН*СН)/4=72*√2592/4=18*√2592=648*√2

Найдём сos<СМН:

сos<СМН=сos(2<САН)=2cos^2<САН-1=2AH^2/АС^2-1=2AH^2/(АН^2+CH^2)-1=0,33.

Значит, площадь треугольника MPQ равна S/сos^2<СМН=5832√2

Ответ: б) 5832√2.