Question

Основание высоты пирамиды SABCD — точка пересечения диагоналей квадрата.

AB=AS= 14.

P∈SA, Q∈AB,R∈BC,

PA=PQ=RC=3.

а) Докажи, что SD⊥(PQR).

б) Рассчитай расстояние от точки D до плоскости (PQR).

Решение:

а)Некоторые утверждения и этапы доказательств:
Строим PQ||<...>; SD⊥(PQR), так как SD⊥<...> и SD⊥<...>.
*варианты ответов: SC, AD, AS, DR, DS, QR, QD, AB, BS, PQ, SO, DC
б)ответ:<...>

Answer 1

a) Строим PQ ∥ BS ; SD⊥(PQR), так как SD⊥PQ и SD⊥QR.
б) Пусть плоскость PQR пересекает ребро SD в точке E. Из доказанного следует, что прямая PE перпендикулярна прямой SD, откуда
SE=SPcos60C=3/2
Значит DE=SD-SE=7/2. Поскольку плоскость PQR перпендикулярна ребру SD, искомое расстояние равно DE.
Ответ:7/2

Answer 2

а) Докажем, что SD ⊥ (PQR).
1. Предположим, что SD не перпендикулярна (PQR).
2. Поскольку PQ || AB, то треугольники APQ и SDB подобны.
Обоснование: Углы P и S равны (как вертикальные), угол Q равен B (как соответственные), стороны AP и SD соответственно равны PQ и BD (по условию PA = PQ и AS = 14, а SD - это медиана в треугольнике SAB).
3. Из подобия APQ и SDB следует, что соотношение сторон AP/SD = PQ/BD.
Обоснование: По свойству подобных треугольников, соответствующие стороны пропорциональны.
4. Из условия PA = PQ = 3 следует, что AP = PQ = 3.
5. Из условия AS = 14 следует, что SD = 14/2 = 7 (по свойству медианы).

Теперь мы можем сравнить отношения сторон AP/SD и PQ/BD:
AP/SD = 3/7 и PQ/BD = 3/BD.

6. Предположим, что SD не перпендикулярна (PQR), тогда BD ≠ 7.
7. Если BD ≠ 7, то это значит, что сторона PQ/BD ≠ AP/SD, что противоречит нашему предыдущему утверждению.
Обоснование: Если две пары пропорциональных сторон не равны, то треугольники не могут быть подобными.

Таким образом, наше предположение было неверным, и мы доказали, что SD ⊥ (PQR).

б) Теперь рассчитаем расстояние от точки D до плоскости (PQR).
1. Возьмем точку A за начало координат и оси OX и OY параллельны сторонам AB и BC соответственно.
2. Зададим координаты точек: A(0,0), B(14, 0), C(14, 14), D(0, 14).
3. Найдем уравнение плоскости (PQR).
Поскольку P, Q и R лежат на сторонах треугольника AB и на прямой AC, то уравнение плоскости может быть найдено как перпендикулярное уравнению прямой AC и проходящее через точку P:
Уравнение прямой AC: x - y = 0.
Подставим координаты точки P(3, 0) в уравнение прямой:
3 - 0 ≠ 0. Это противоречие. Значит, прямая AC не является основанием пирамиды.
Следовательно, D лежит на плоскости (PQR), а расстояние от точки D до этой плоскости равно 0.

Ответ: а) SD ⊥ (PQR); б) расстояние от точки D до плоскости (PQR) равно 0.