а) Если боковая грань перпендикулярна основанию, то высота лежит в этой грани.
Значит основание высоты - точка Н - лежит на гипотенузе.
Проведем из точки Н перпендикуляры НК и НМ к катетам АС и ВС.
НК и НМ - проекции наклонных SK и SM на плоскость основания, значит SK⊥AC и SM⊥BC по теореме о трех перпендикулярах. Тогда
∠SKH = ∠SMH = β - углы наклона боковых граней к плоскости основания.
Треугольники КSH и МSH прямоугольные, катет SH общий, и равны углы, противолежащие этому катету, значит
ΔКSH = ΔМSH по катету и противолежащему острому углу, ⇒
КН = МН, значит СМНК - квадрат, СН - его диагональ, значит и биссектриса треугольника АВС. А так как треугольник равнобедренный, то и медиана, ⇒АН = ВН.
б) КН - средняя линия ΔАВС, так как проходит через середину АВ и параллельна ВС.
КН = а/2.
ΔSKH: tgβ = SH / HK
SH = HK · tgβ = a/2 · tgβ
АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √40 = 6.32455532,
BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √40 = 6.32455532,
AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √16 = 4.
Из этого расчёта видно, что треугольник равнобедренный.
Периметр равен 16,64911064.
2) МЕДИАНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА Медиана АM1 из вершины A: Координаты M1(3; -1) Длина AM1 = 4.24264068711928 Медиана BM2 из вершины B: Координаты M2(2; 2) Длина BM2 = 6 Медиана CM3 из вершины C: Координаты M3(1; -1) Длина CM3 = 4.24264068711928
Длины средних линий:
А₁В₁ = АВ/2 = 3.16227766,
В₁С₁ = ВС/2 = 3.16227766,
А₁С₁ = АС/2 = 2.