Question

Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площадь треугольника ВОС равна 2 см², площадь треугольника ABO равна 4 см². Найдите площадь трапеции

Answer 1

Чтобы найти площадь трапеции, нам необходимо использовать свойства треугольников, а именно то, что площадь треугольника можно вычислить по формуле "половина произведения основания на высоту".

Обозначим основания трапеции AB и CD, а точку пересечения диагоналей O. Пусть точка, в которой эти диагонали пересекают основания на границе трапеции, называется E.

Так как треугольник ABO имеет площадь 4 см², то мы можем записать его площадь следующим образом:

4 = (AB * OE) / 2.

Аналогично, для треугольника BOC:

2 = (BC * OE) / 2.

Заметим, что отношение высот в треугольниках ABO и BOC будет одинаковым. Это происходит из-за того, что оба треугольника имеют общую высоту, которая является отрезком CD.

Таким образом, мы можем записать отношение высот в треугольниках:

(AB * OE) / 2 = (BC * OE) / 2.

Упростим это уравнение, умножив обе части на 2:

AB * OE = BC * OE.

Поскольку OE не равно нулю (в противном случае диагонали не пересекались бы), мы можем сократить на OE обе части уравнения:

AB = BC.

То есть, длины оснований AB и BC равны друг другу.

Так как это трапеция, мы можем записать площадь трапеции следующим образом:

Площадь трапеции = ((AB + BC) * h) / 2,

где h - это высота трапеции.

Но мы знаем, что AB = BC, поэтому мы можем записать:

Площадь трапеции = (2 * AB * h) / 2.

Заметим, что AB * h - это площадь треугольника ВОС, которая равна 2 см².

Итак, мы получаем:

Площадь трапеции = (2 * 2) / 2 = 4 см².

Таким образом, площадь трапеции равна 4 квадратным сантиметрам.