ответ: arctg(√2tgα).
Объяснение:"Углом между указанными плоскостями MDC и АВС является угол, стороны которого – лучи с общим началом на ребре двугранного угла, которые проведены в его гранях перпендикулярно ребру".
1) ΔДОС: ОД=ОС по свойству диагоналей квадрата,
ОЕ- медиана по условию ⇒ОЕ- высота и ∠ОЕС=90°.
2) ΔОЕС: ∠ОЕС=90°, пусть ДС=а, тогда ОЕ=ЕС=а/2,
ОС²=(а/2)²+(а/2)²=а²/4 + а²/4= 2а²/4= а²/2;
ОC=а:√2= (а√2) :2.
ОМ:ОС=tgα ⇒ ОМ=ОС*tgα= (а√2) :2 * tgα= (а√2*tgα) :2.
3) ΔОМЕ: ОМ⊥ пл.АВС, ОЕ⊂пл.АВС ⇒ ОМ⊥ОЕ.
tg∠ОЕМ = ОМ:ОЕ = (а√2*tgα):2 :а/2= (а√2*tgα):а= √2tgα;
4) ОЕ⊂пл.АВС, ОЕ⊥ДС, МЕ- наклонная к пл.АВС,
ОЕ- проекция МЕ на пл.АВС ⇒
⇒ по теореме о трёх перпендикулярах МЕ ⊥ ДС.
пл.АВС ∩ пл.ДМС= ДС, МЕ ⊂ пл.ДМС и МЕ⊥ДС,
ОЕ ⊂ пл.АВС и ОЕ⊥пл. АВС ,
значит ∠(МДС;АВС)=∠ОЕМ= arctg(√2tgα).
Сделаем рисунок.
Пусть площадь АВСD=S.
Тогда площадь прямоугольника KFDC=S/2,
площадь ∆ СFD=S/4 ( диагональ CF делит прямоугольник пополам).
В ∆ АОD и ∆ СОD стороны АD=СD, ОD - общая, углы между равными сторонами равны (BD - биссектриса квадрата).
∆ АОD=∆ СОD.
∆ АОF и ∆ DOF равновелики - у них общая высота из О и равные основания АF=DF.
Таким же образом равновелики ∆ DОМ и ∆ СОМ. Тогда площадь ∆ DОF одной трети площади ∆ СFD. Площадь ∆ DOF=(S/4):3=S/12
Т.к. площади ∆ АОF и ∆ DOF равны, площадь ∆ АОF=S/12
Сумма площадей ∆ АОВ и ∆FOD равна
площади ∆ ABD без площади ∆ АОF и равна S/2-S/12=5/12
По условию эта сумма S•5/12=65 см²
1/12=65:5=13 см²
Площадь ∆ АОВ=65-13=52 см²