1. 1) ∠AOD=∠BOC=130° (вертикальные), значит ∪ ВС=130°(стягивает центральный угол).
2)∪ АВ=∪АС- ∪ВС=180°-130°=50°, значит
∠АСВ =50/2=25 °(вписанный не центральный угол)
2. 1) ∆ АВС- равнобедренный , значит ∠ А=∠С=(180°-177°)/2=1,5°.
2) ∪ ВС=1,5°·2=3° (стягивает вписанный угол), тогда ∠ВОС=3° (центральный угол )
3. 1) Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания,
значит ∠ ОКМ=90°-7°=83° .
2) ∆ ОКМ- равнобедренный (ОК=КМ=r) , значит ∠ОКМ=∠ОМK=83°.
4. 1) Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания,
значит ∠ ОКМ=90°-84°=6°
2) ∆ ОКМ- равнобедренный (ОК=КМ=r) , значит ∠ОКМ=∠ОМK=6°.
5. ∠ ABC =90°(вписанный), т.к ∪ АС=180° (опирается на диаметр АС). Тогда ∠С=180°-90°-75°=25°
6. 1) ∪ AN=73°·2=146° (стягивает вписанный ∠ NBA). Тогда
∪ NB =∪ AB-∪AN=180°-146°=34°.
2) ∠NMB=34°/2=17° (вписанный не центральный угол)
7. 1) ∆ АОВ- равнобедренный(АО=ОВ=r), значит ∠ОАВ=∠АВО=15°. Тогда ∠ОВС =56°-15°=41°.
2) ∆ ВОС- равнобедренный(ВО=ОС=r), значит ∠ОВС=∠ВСО=41°.
8. ∆ АОВ =∆ СОD (AO=OD=r, CO=OB=r, ∠AОВ =∠CОD-вертикальные ), значит ∠ОАВ =∠ОСD=25°
если нижнее основание а, верхнее b, и искомый отрезок - длины х, то прощади трапеций будут такие
S1 = (b + x)*h1/2; S2 = (a + x)*h2/2;
или, поскольку S1 = S2,
(b + x)/(a + x) = h2/h1;
Чтобы получить соотношение между h1 и h2, проведем прямую, параллельную боковой стороне через конец отрезка х, лежащий на ДРУГОЙ боковой стороне.
Малое основание продолжим до пересечения с этой прямой. Получилось 2 подобных треугольника с основаниями (x - b) и (a - x); из подобия следует
h2/h1 = (a - x)/(x - b);
поскольку соответствующие высоты так же пропорциональны, как и стороны.
Итак, имеем уравнение для х
(b + x)/(a + x) = (a - x)/(x - b);
x^2 - b^2 = a^2 - b^2;
x = корень((a^2 + b^2)/2);
Подставляем численные значения, получаем
х = корень(24^2 + 7^2) = 25;
Надо же, и тут Пифагорова тройка (7,24,25)