По условию
ВД = 8, КД = ВД/2 = 4
ИК = ИЕ = 6
--- 1 ---
ΔГКД ~ ΔГЕИ, т.к. угол Г общий и углы К и Е - прямые
Из подобия треугольников
ГД/ГК = ГИ/ГЕ
x/y = (y+6)/(x+4)
x² + 4x = y² + 6y
--- 2 ---
по т. Пифагора для ΔГКД
ГД² = ГК² + КД²
x² = y² + 4²
--- 3 ---
Решаем совместно уравнения из 1 и 2
Вычтем из второго первое
4² + 4x = 6y
x = 3/2*y - 4
Подставим выражение для х во второе
(3/2*y - 4)² = y² + 16
9/4 *y² - 2*3/2*4*y + 16 = y² + 16
5/4*y² - 12y = 0
5y² - 48y = 0
y(5y - 48) = 0
Плохое решение y=0 отбросим
Хорошее решение
y = 48/5
x = 3/2*y - 4 = 3/2*48/5 - 4 = 72/5 - 4 = 52/5
--- 4 ---
ΔГКД ~ ΔГЖЗ
ЖЗ/КД = ГЗ/ГК
z/4 = (y + 6 + 6)/y
z = 4*(y + 12)/y = 4*(48/5 + 12)/(48/5) = 5/12*(48/5 + 12) = 4 + 5 = 9
Нижнее основание трапеции
2z = 2*9 = 18
--- 5 ---
Площадь - половина произведения суммы основания на высоту
S = 1/2*(8 + 18)*12 = 6*26 = 156
Для грани SAB построим линейный угол двугранного угла. Для этого проведем из точки О перпендикуляр ОН к ребру основания АВ. ОН - проекция SH на плоскость основания, значит SH⊥AB по теореме о трех перпендикулярах.
∠SHO = 60° - линейный угол двугранного угла.
Аналогично строим линейные углы наклона всех боковых граней.
SΔaob = АВ · ОН / 2
SΔsab = AB · SH / 2
Saob / Ssab = OH / SH = cos∠SHO = cos60° = 1/2
Saob = Ssab/2
Так как все боковые грани наклонены под одним углом, для каждой боковой грани и ее проекции мы получим такое же отношение.
Значит, площадь основания равна половине площади боковой поверхности:
Sосн = Sбок/2 = 36/2 = 18