Параллелограм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. найдите острый угол параллелограмма, если его площадь относится к площади прямоугольника как корень из 3 : 2
Найдём сначала, чем ограничена данная фигура. (На самом деле эта фигура -- круг радиуса 1 с центром в точке (1,0), и её площадь равна pi).
Решим уравнение 1+sqrt(2x-x^2) = 1-sqrt(2x-x^2). Его корни: x = 0, x = 2. Поэтому данная фигура заключена между кривыми 1+sqrt(2x-x^2) и 1-sqrt(2x-x^2) на отрезке x в [0, 2].
Тогда её площадь: int_{x=0}^2 ((1+sqrt(2x-x^2)) - (1-sqrt(2x-x^2))) dx = 2* int_{x=0}^2 sqrt(2x-x^2) dx Теперь осталось найти интеграл. Можно, собственно, дальше мучительно долго искать неопределённый интеграл: 2 * integral sqrt(2 x-x^2) dx =2 * (sqrt(-(x-2) x) (sqrt(x-2) (x-1) sqrt(x)-2 log(sqrt(x-2)+sqrt(x/(2 sqrt(x-2) sqrt(x))+constant И затем найти разность при x=2 и x=0. А можно заметить, что фигура -- это круг, и вычислить определённый интеграл сразу, поставив в ответ pi,
) Построение равнобедренного треугольника по основанию и боковой стороне. 1. Проводим прямую "а". 2. Замеряем циркулем длину данного нам основания. 3. Откладываем на прямой "а" от произвольной точки А отрезок АС, равный данному основанию. 3. Замеряем циркулем длину данной нам боковой стороны. 4. Устанавливаем ножку циркуля в точку А и радиусом, равным АВ, делаем дугу над прямой "а". 5. Устанавливаем ножку циркуля в точку С и радиусом, равным АВ, делаем дугу над прямой "а" до пересечения ее с первой дугой, получая точку пересечения В. 6. Соединяем точки А,В и с. Получен искомый треугольник. 2) Этот же алгоритм и для построения треугольника по трем сторонам. Только в пунктах 1,2 и 3 откладываем на прямой "а" ПЕРВУЮ сторону треугольника. В пункте 4 работаем со ВТОРОЙ стороной, то есть устанавливаем ножку циркуля в точку А и радиусом, равным длине ВТОРОЙ стороны, делаем дугу над прямой "а". В пункте 5 работаем с ТРЕТЬЕЙ стороной, то есть устанавливаем ножку циркуля в точку С и радиусом, равным длине ТРЕТЬЕЙ стороны, делаем дугу над прямой "а" до пересечения ее с первой дугой, получая точку пересечения В.
(На самом деле эта фигура -- круг радиуса 1 с центром в точке (1,0),
и её площадь равна pi).
Решим уравнение 1+sqrt(2x-x^2) = 1-sqrt(2x-x^2). Его корни: x = 0, x = 2.
Поэтому данная фигура заключена между кривыми 1+sqrt(2x-x^2) и 1-sqrt(2x-x^2) на отрезке x в [0, 2].
Тогда её площадь:
int_{x=0}^2 ((1+sqrt(2x-x^2)) - (1-sqrt(2x-x^2))) dx = 2* int_{x=0}^2 sqrt(2x-x^2) dx
Теперь осталось найти интеграл. Можно, собственно, дальше мучительно долго искать неопределённый интеграл:
2 * integral sqrt(2 x-x^2) dx =2 * (sqrt(-(x-2) x) (sqrt(x-2) (x-1) sqrt(x)-2 log(sqrt(x-2)+sqrt(x/(2 sqrt(x-2) sqrt(x))+constant
И затем найти разность при x=2 и x=0.
А можно заметить, что фигура -- это круг, и вычислить определённый интеграл сразу, поставив в ответ pi,
ответ: pi