Наибольшая диагональ D правильной шестиугольной призмы - это гипотенуза прямоугольного треугольника, где катеты - боковое ребро, равное высоте призмы H, и диагональ d основы (это шестиугольник), равная двум сторонам основы (или двум радиусам описанной окружности). H = D*sin 60° = 12*(√3/2) = 6√3 см. d = D*cos 60° = 12*0,5 = 6 см. Сторона основы призмы равна половине d: a = d/2 = 6/2 = 3 см. Площадь основы (шестиугольника) равна: So = 3√3a²/2 = 3√3*9 /2 = 27√3/2 см². Объём призмы V = So*H = (27√3/2)*6√3 = 243 см³.
АВС и АВК равнобедренные треугольники с общей стороной АС. Высота ВН треугольника АВС равна по Пифагору ВН=√(АВ²-АН²) или ВН=√(20²-12²)=16см. Высота КН треугольника АКС равна по Пифагору КН=√(АК²-АН²) или КН=√(15²-12²)=9см. Двугранный угол между плоскостями треугольников равен 60° (дано). Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. Значит угол ВНК=60°, так как ВН и КН перпендикуляры к АС. Тогда отрезок ВК найдем по теореме косинусов: ВК²=ВН²+КН²-2*ВН*КН*Cos60° или ВК²=256+81-2*16*9*(1/2)=193. ответ: ВК=√193 см ≈ 13,89см.
H = D*sin 60° = 12*(√3/2) = 6√3 см.
d = D*cos 60° = 12*0,5 = 6 см.
Сторона основы призмы равна половине d:
a = d/2 = 6/2 = 3 см.
Площадь основы (шестиугольника) равна:
So = 3√3a²/2 = 3√3*9 /2 = 27√3/2 см².
Объём призмы V = So*H = (27√3/2)*6√3 = 243 см³.