На сторонах AB, BC, CD и DA четырехугольника ABCD отмечены соответственные точки M N P и Q так что, AM=СP, BN=DQ, BM=DP, NC=QA. Докажите, что ABCD, MNPQ - параллелограммы.
***
Обозначим равные отрезки одинаковыми буквами:
АМ=СР=а
BN=DQ=b
BM=DP=c
NC=QA=d
АВ=а+с
СD=a+c ⇒ AB=CD
BC=b+d
AD=b+d ⇒ BC=AD
В четырехугольнике АВСD противоположные стороны попарно равны. ⇒
АВСD - параллелограмм ( 2-й признак)
–––––––––––––––––––––
Рассмотрим ∆ MBN и ∆ PDQ
∠ А=∠С как противоположные углы параллелограмма АВСD.
Содержащие эти углы стороны равны по условию ⇒
∆ MBN = ∆ PDQ по 1-му признаку.⇒ MN=PQ
Аналогично доказывается равенство сторон MQ и NP
В четырехугольнике MNРQ противоположные стороны равны ⇒ MNРQ - параллелограмм.
Радиусы ОА и ОВ по свойству перпендикулярыны касательным МА и МВ в точках касания, поэтому угол ОВМ- прямой. И точка О лежит на биссетрисе угла АМВ, поскольку раноудалена от его сторон. Но тогда треугольники АОМ и ВОМ равны по катету и острому углу. Значит, в равных треугольниках угол МОВ равен углу МОА, 70°/2=35°
И, наконец, угол ОМВ=180°-90°-35°=55°