1.
В параллелограмме противоположные стороны равны.
Пусть меньшая сторона равна x, тогда противоположная равна x, а смежные с ней равны x+7см. Периметр 54см, поэтому
2·(x + x+7см) = 54см = 4x+14см
4x = 54-14 = 40см
x = 40:4 = 10см - длина каждой из двух меньших сторон.
x+7см = 10+7 = 17см - длина двух других сторон.
ответ: 10см, 17см, 10см и 17см.
2.
В прямоугольнике противоположные стороны равны (BC=AD), диагонали тоже равны (AC=DB), а точкой пересечения делятся пополам.
AO = AC:2 = 24:2 = 12см
DO = DB:2 = AC:2 = 12см
AD = BC = 16см
AO+DO+AD = 12+12+16 = 40см
ответ: 40см.
3.
Противоположны углы в ромбе равны, смежные углы дают в сумме 180°, а диагонали служат биссектрисами углов.
Сторона образует с диагональю угол в 18°, это же диагональ проходит через углы в 18°·2=36° т.к. она делит их пополам.
Остальные два углы равны между собой и вместе с углом в 36° дают 180°. То есть они равны 180°-36° = 144°.
ответ: 144°, 36°, 144° и 36°.
4.
ΔAEB = ΔCFD по двум сторонам и углу между ними (AB=CD как противоположные стороны параллелограмма; ∠BAE=∠DCF как накрест лежащие; AE=CF по условию).
BE = DF, как стороны лежащие напротив равных углов (∠BAE=∠DCF), в равных треугольниках. Доказано.
(см. объяснение)
Объяснение:
Рассмотрим плоскость (AST). Заметим, что BC⊥(AST), так как BC⊥SO и BC⊥AT и SO∩AT=O. Тогда BC перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Опустим теперь перпендикуляр AH из точки A на ST в плоскости (AST). Получим, что AH⊥ST и AH⊥BC и ST∩BC=T. Тогда AH⊥(BSC), т.е. является искомым расстоянием. Найдем теперь AH. Приравняв площади треугольника, получим, что
. Понятно, что AT ищем по теореме Пифагора для треугольника ATC: AT²=AC²-TC², => AT=4√3. ST ищем по той же теореме Пифагора, но для треугольника STC: ST²=SC²-TC² => ST=2√21. Перед тем, как искать SO, вспомним, что медианы точкой пересечения делятся 2:1, считая от вершины. Тогда OT=4/√3 => SO=2√177/3 (опять-таки по теореме Пифагора для треугольника OST). Значит 
. Приведем теперь ответ к требуемому виду: 
.
Задание выполнено!