Задача: Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найти градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 34°.
Решение: Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу:
∠C = ∠AOB/2 = 34/2 = 17°
ответ: ∠C = 17°.
········································································
Задача: AB и AC – отрезки касательных, проведенных к окружности радиуса 8 см. Найти длину OA и AC, если AB = 6 см.
Если к окружности из одной точки (A) проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.
AB = AC = 6 см
ΔAOC — прямоугольный, ∠С = 90, т.к. ОС — радиус окружности, а AC — касательная (OC⊥AC по определению)
Величину гипотенузы определим по т. Пифагора:
ответ: OA = 10 см, AC = 6 см.
········································································
Задача: На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 26°. Найти ∠NMB.
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (т.к. дуга опирается на соответственный центральный угол):
∠NBA = ∪AN/2 ⇒ ∪AN = 2·∠NBA = 2·26 = 52°
∪BN = 180°−∪AN = 180°−52° = 128°
∠NMB = ∪BN/2 = 128°/2 = 64°
ответ: ∠NMB = 64°.
Дано:
KB ∩ AM = S.
AB = KM
AB || KM
Доказать:
S - середина KB и AM.
Решение.
ЕСЛИ ПРИ ПЕРЕСЕЧЕНИИ 2 ПРЯМЫХ СЕКУЩЕЙ НАКРЕСТ ЛЕЖАЩИЕ УГЛЫ РАВНЫ, ТО ПРЯМЫЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ.Рассмотрим △KSM и △BSA:
AB = KM
Т.к. AB || KM => ∠B = ∠K т.к. они накрест лежащие.В данном случае, действует теорема, которая написана заглавными буквами вверху, только обратная:
ЕСЛИ ДВЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ ПЕРЕСЕЧЕНЫ СЕКУЩЕЙ, ТО НАКРЕСТ ЛЕЖАЩИЕ УГЛЫ РАВНЫ
∠A = ∠M, т.к. они накрест лежащие.
=> △KSM = △ASB, по 2 признаку равенства треугольников.
Т.к. △KSM = △ASB => S - середина KB и AM
Ч.Т.Д.