По условию составим систему уравнений и решим ее.
b + a = 15
b - a = 9
сложим уравнения: 2b = 24; b = 12; ⇒ a = 3. Основания трапеции 12 и 3.
В трапецию вписана окружность, значит суммы противоположных сторон равны. a + b = m + n = 15.
Трапеция равнобедренная. ⇒ m = n = 15/2 = 7,5
Диаметр вписанной окружности равен высоте трапеции D = h.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза = m = 7,5; меньший катет = (b-a)/2 = 4,5; больший катет равен высоте трапеции и диаметру вписанной окружности.
По т. Пифагора: D = h = √(7,5² - 4,5²) = 6
Диаметр вписанной окружности = 6.
Длина диаметра - это всего лишь высота данной трапеции, если из вершины тупого угла провести высоту, то ее легко найти из прямоугольного треугольника с боковой стороной, равной 180/4=45(т.к. сумма оснований трапеции должна равняться сумме боковых сторон, т.е. равна 90см, иначе не опишешь трапецию, а т.к. трапеция равнобедренная, то боковые стороны равны по 90/2=45/см/)
...так вот.. отвлекся
Чтобы найти высоту, т.е. катет, лежащий против угла в 30°, надо гипотенузу /т.е. боковую сторону трапеции/ разделить надвое, 45/2=22,5/см/
ответ 22,5 см