Дан треугольник АВС, АА₁ , ВВ₁, СС₁- его медианы, которые пересекаются в точке М ( см. рисунок) Отложим отрезок В₁К, равный МВ₁ Четырехугольник АМСК параллелограмм, так как его диагонали в точке В₁ делятся пополам. Значит S (Δ AMK)= S (Δ AMB₁) + S(Δ AB₁K)= S(Δ AMB₁)+S(Δ MB₁C)=S(Δ AMC)=1/3 S( Δ ABC) Треугольник АМС и АВС имеют общее основание АС ВМ:ВВ₁=2:1медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, значит В₁М:В₁В =1:3 и высота треугольника АМС в три раза меньше высоты треугольника АВС. Кроме того, Проведём А₁Т || МК. Тогда треугольники АА₁Т и АМК подобны и АА₁=3/2·АМ= Из подобия треугольников получаем т.е. стороны треугольника АА₁Т равны медианам данного треугольника
Значит площадь треугольника АВС в 4/3 раза больше площади треугольника из медиан. Площадь треугольника, образованного медианами 3,4, 5 равна 6 кв. см. Это прямоугольный треугольник 5²=3²+4² Площадь такого треугольника равна половине произведения катетов. Площадь треугольника АВС 4/3·6=24/3=8 кв. см
Четырехугольник называется вписанным в окружность, если окружность проходит через все вершины четырехугольника. Свойство1. Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противолежащих углов равна 180°. Свойство2.( Теорема Птолемея). Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма произведений его противолежащих сторон равна произведению его диагоналей. Свойство3.( Формула Брахмагупты) Если a,b,c,d - стороны вписанного в окружность четырехугольника, р- его полупериметр, то площадь четырехугольника .
.
Отложим отрезок В₁К, равный МВ₁
Четырехугольник АМСК параллелограмм, так как его диагонали в точке В₁ делятся пополам.
Значит
S (Δ AMK)= S (Δ AMB₁) + S(Δ AB₁K)= S(Δ AMB₁)+S(Δ MB₁C)=S(Δ AMC)=1/3 S( Δ ABC)
Треугольник АМС и АВС имеют общее основание АС
ВМ:ВВ₁=2:1медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, значит В₁М:В₁В =1:3 и
высота треугольника АМС в три раза меньше высоты треугольника АВС.
Кроме того,
Проведём А₁Т || МК. Тогда треугольники АА₁Т и АМК подобны и АА₁=3/2·АМ=
Из подобия треугольников получаем
т.е. стороны треугольника АА₁Т равны медианам данного треугольника
Значит площадь треугольника АВС в 4/3 раза больше площади треугольника из медиан.
Площадь треугольника, образованного медианами 3,4, 5 равна 6 кв. см.
Это прямоугольный треугольник 5²=3²+4²
Площадь такого треугольника равна половине произведения катетов.
Площадь треугольника АВС 4/3·6=24/3=8 кв. см