Основание треугольной пирамиды DABC – треугольник ABC, в котором АВ=13, ВС=14, АС=15. Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найдите объем пирамиды.
Подсказка: рассмотреть два случая:
1) Высота пирамиды лежит внутри пирамиды;
2) Высота пирамиды лежит вне пирамиды.
V = (1/3) * S * h,
где V - объем пирамиды, S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.
1) Высота пирамиды лежит внутри пирамиды.
Для начала найдем площадь основания пирамиды. Для этого воспользуемся формулой для площади треугольника:
S = (1/2) * a * b * sin(C),
где a, b - длины сторон треугольника, C - угол между этими сторонами.
В нашем случае у нас есть длины сторон треугольника ABC: AB = 13, BC = 14, AC = 15. Нам также известно, что угол между сторонами AB и AC равен 60°.
Подставим значения в формулу:
S = (1/2) * 13 * 15 * sin(60°) = (1/2) * 13 * 15 * (√3/2) = 97.43.
Теперь, когда у нас есть площадь основания S, мы можем продолжить и найти объем пирамиды.
Обратите внимание, что высота пирамиды лежит внутри пирамиды. Если мы нарисуем пирамиду и подпишем ее основание ABC и высоту h, мы увидим, что точка, где опущена высота, лежит внутри треугольника ABC.
Чтобы найти высоту пирамиды, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника ABC:
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(A),
где A - угол между сторонами AB и BC.
В нашем случае у нас есть значения сторон AB = 13, BC = 14 и угла A = 60°. Подставим значения в формулу:
AC^2 = 13^2 + 14^2 - 2 * 13 * 14 * cos(60°) = 169 + 196 - 364 * 0.5 = 169 + 196 - 182 = 183.
AC = √183.
Теперь, когда у нас есть длина высоты AC, мы можем найти высоту пирамиды.
В данной пирамиде высота пирамиды соединяет точку Aс с плоскостью основания пирамиды (опустим из вершины A перпендикуляр на плоскость основания). Заметим, что высота пирамиды будет равна расстоянию от точки A до основания пирамиды.
Поскольку треугольная пирамида DABC - правильная пирамида, то длина высоты пирамиды равна расстоянию от точки A до плоскости основания пирамиды.
Рассмотрим треугольник ABC. Перпендикуляр, опущенный из точки A на основание AB, будет создавать прямоугольный треугольник, аналогичный треугольнику ABC, судя по подобиям.
Тогда длина высоты пирамиды, которая лежит внутри пирамиды, равна AD.
Так как перед нами сама задача реализована в компьютере, вычислим эту высоту с помощью формулы Герона. Мы найдем площадь этого прямоугольного треугольника ABC и воспользуемся формулой для площади треугольника:
S = (1/2) * a * b * sin(C),
где a, b - длины сторон треугольника, C - угол между этими сторонами.
В нашем случае у нас есть длины сторон треугольника ACD: AC = √183, AD = ?, CD = √183. Также нам известно, что угол между сторонами AC и CD равен 60°.
S = (1/2) * (√183) * (√183) * sin(60°) = (1/2) * 183 * (√3/2) = (1/2) * 183 * (√3/2) = 79.31.
Теперь подставим это значение в формулу для площади треугольника ABC, где a = AB = 13, b = BC = 14, S = 79.31:
79.31 = (1/2) * 13 * 14 * sin(C).
Решая это уравнение относительно sin(C), мы получаем:
sin(C) = 2 * 79.31 / (13 * 14) = 10.31 / 13 = 0.79.
Теперь найдем значение угла C с помощью обратной функции синуса:
C = arcsin(0.79) = 52.19°.
Заметим, что угол C является смежным с углом A (угол между сторонами AB и AC). Таким образом, угол A также равен 52.19°.
Теперь, когда у нас есть значения длины сторон треугольника ABC и углов, мы можем найти площадь этого треугольника, снова используя формулу для площади треугольника:
S = (1/2) * a * b * sin(C),
где a, b - длины сторон треугольника, C - угол между этими сторонами.
S = (1/2) * 13 * 14 * sin(52.19°) = (1/2) * 13 * 14 * 0.79 = 72.15.
Теперь, когда у нас есть площадь основания S и высота пирамиды h (AD) лежит внутри пирамиды, мы можем найти объем пирамиды:
V = (1/3) * S * h = (1/3) * 72.15 * ?
Мы все еще не знаем точное значение высоты пирамиды AD, но мы можем найти ее с помощью теоремы Пифагора для треугольника ACD.
AC^2 = AD^2 + CD^2.
В нашем случае у нас есть длины сторон треугольника ACD: AC = √183, CD = √183. Подставим эти значения в формулу:
√183^2 = AD^2 + (√183)^2,
183 = AD^2 + 183,
AD^2 = 0,
AD = 0.
Мы видим, что длина AD равна нулю, т.е. высота пирамиды лежит на вершине пирамиды.
2) Высота пирамиды лежит вне пирамиды.
В этом случае высота пирамиды соединяет точку A с плоскостью основания пирамиды (опущена из вершины A перпендикулярно на плоскость основания), но точка пересечения лежит за пределами пирамиды.
У нас нет необходимости считать площадь треугольника ABC и находить его стороны и углы, как раньше, потому что логика решения в этом случае объяснена в предыдущем ответе, где мы видели, что высота равна нулю.
В результате, если высота пирамиды лежит внутри пирамиды, то объем пирамиды будет равен нулю. Если высота пирамиды лежит вне пирамиды, то объем пирамиды также будет равен нулю.