1. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Проведем высоту ромба РН через точку О пересечения диагоналей (центр ромба). ВD=10, ВО=5, РН=DM=8, ОН=4. НВ=3 (так как треугольник ОНВ - Пифагоров) ОН - высота из прямого угла и делит гипотенузу так, что АН*НВ=ОН² (свойство). Отсюда АН=16/3=5и1/3. Тогда АВ=АН+НВ =5и1/3+3=8и1/3. Или так: из треугольника DMB по Пифагору: МВ=√(BD²-DM²)= √(100-64)=6. AM²=AD²-DM² (по Пифагору). АМ=АВ-ВМ=АВ-6. AD=АВ. => (АВ-6)²=АВ²-64 => 12AB=100, АВ=100/12 = 8 и 1/3. ответ: сторона ромба равна 8и1/3 ед.
1) AM=MC=16 см. Так как медиана делит противоположную сторону пополам (см рисунок) Из треугольника АВМ по теореме косинусов: АВ²=АМ²+МВ²-2АМ·МВ·cos 120° АВ=2√97, АМ=16, ВМ=х Получаем уравнение: 4·97=16²+х²-2·16·х·(-1/2) х²+16х-132=0 D=256+4·132=4(64+132)=4·196=(2·14)²=28² x=(-16-28)/2<0 или х=(-16+28)/2=12/2=6 ВМ=6 Из треугольника ВМС по теореме косинусов ВС²=ВМ²+МС²-2ВМ·МС·cos 60°=6²+16²-2·6·16·(1/2)=196=14² ВС=14 ответ. ВС=14- третья сторона треугольника равна 14 см
2) Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника: АК: КС= АВ: ВС значит АВ:ВС=4:3 или АВ=4х, ВС=3х По теореме косинусов из треугольника ВКС: ВС=3х, КС=3, ∠ВКС=60° ВС²=ВК²+КС²-2·ВК·КС·сos 60° (3x)²=BK²+9-2·BK·3·(1/2) 9x²=BK²-3·BK+9 ( * ) По теореме косинусов из треугольника AВК: AВ=4х, AК=4, ∠ВКA=120° AВ²=AК²+BK²-2·AК·BК·сos 120° (4x)²=16+BK²-2·BK·4·(-1/2) 16·x²=BK²+4·BK+16 ( ** ) Решаем систему двух уравнений ( * ) и ( ** )с двумя неизвестными х и ВК заменим х² в уравнении ( ** ) на выражение (BK²-3·BK+9)/9 из ( *): 16·(BK²-3·BK+9 )/9=BK²+4·BK+16 - умножим уравнение на 9 16·ВК² -48·ВК+16·9=9·ВК²+36·ВК+9·16 7·ВК²-84·ВК=0 7·ВК·(ВК-12)=0 ВК-12=0 ВК=12 ответ. биссетриса равна 12
Проведем высоту ромба РН через точку О пересечения диагоналей (центр ромба).
ВD=10, ВО=5, РН=DM=8, ОН=4.
НВ=3 (так как треугольник ОНВ - Пифагоров)
ОН - высота из прямого угла и делит гипотенузу так, что АН*НВ=ОН² (свойство). Отсюда
АН=16/3=5и1/3. Тогда АВ=АН+НВ =5и1/3+3=8и1/3.
Или так: из треугольника DMB по Пифагору:
МВ=√(BD²-DM²)= √(100-64)=6.
AM²=AD²-DM² (по Пифагору). АМ=АВ-ВМ=АВ-6.
AD=АВ. => (АВ-6)²=АВ²-64 => 12AB=100,
АВ=100/12 = 8 и 1/3.
ответ: сторона ромба равна 8и1/3 ед.
2.Площадь треугольника S=(1/2)*a*h.
h=√(10²-6²)=8 (по Пифагору).
S= (1/2)*12*8=48ед².
r=S/p = 48/16= 3 ед. (р - полупериметр)
R=abc/4S = 10*10*12/192=6,25 ед.