Положим что CAB=a ,тогда из условия CEA=a. Выразим углы CIM , CKI через a , ACE=180-2a , так как ACB=90 , то BCE=90-(180-2a)=2a-90 , CL-биссектриса , значит EC=KCI=BCE/2=a-45 , аналогично CEL=CEB/2=(180-CEA)/2=90-(a/2) , значит CIK=ECI+CEI=45+(a/2) , откуда CKI=180-(3a/2). То есть углы в треугольнике IKC равны I=a/2+45 , C=a-45 , K=180-(3a/2) По условию IKC равнобедренный , значит надо проверить три условия равенства углов 1) I=C 2) C=K 3) I=K Подходит только I=K (решая уравнения) , откуда a=135/2 Найдём угол CLK=180-(a-45+180-a)=45 . Получаем AC/sin45=CL/sina CL/AB=AC*sina/(AB*sin45)=2*cosa*sina/sqrt(2)=sin(2a)/sqrt(2)=sin135/sqrt(2)=1/2 ответ CL/AB=1/2
1) Четырехугольник ADEC - трапеция (DE ║ AC). ∠BAC = ∠BCA ⇒ трапеция равнобедренная, значит, AD = CE = BA - BD = 6. В трапеции ∠ВАС = ∠BCA ⇒ и ∠ADE = ∠CED. ΔADE = ΔCED по двум сторонам и углу между ними (AD = CE, DE - общая, ∠ADE = ∠CED). 2) AD║CF, AC║DF ⇒ ADFC - параллелограмм, значит, ∠DAC = ∠CFE. ∠ACE = ∠FEC как накрест лежащие углы при пересечении AC║DE секущей СЕ. Значит, ΔECF подобен ΔАВС по двум углам. 3) Т.к. ΔECF подобен ΔАВС, то EF/AC = CE/BC EF/10 = 6/13 ⇒ EF = 60/13 4) Пусть h - высота треугольника АВС, опущенная на боковую сторону. Тогда Sabc = 13h/2 = √(p(p - a)(p - b)(p - c), где a, b, c - стороны треугольника АВС, р - его полупериметр 13h/2 = √(18 · 5 · 5 · 8) 13h/2 = √(9 · 2 · 5 · 5 · 4 · 2) = 3 · 5 · 4 = 60 h =120/13 5) AC║DF, значит, расстояние от точки А до DE и от точки С до DF одинаковы, т.е. ΔADE и ΔDCF имеют одинаковые высоты, опущенные к основаниям DE и DF соответственно. Значит, площади этих треугольников относятся как длины этих оснований. Sade/Sdcf = DE/DF DF = AC = 10 как противолежащие стороны параллелограмма, DE = DF - EF = 10 - 60/13 = 70/13 Sade/Sdcf = (70/13) / 10 = 7/13
Выразим углы CIM , CKI через a , ACE=180-2a , так как ACB=90 , то BCE=90-(180-2a)=2a-90 , CL-биссектриса , значит EC=KCI=BCE/2=a-45 , аналогично CEL=CEB/2=(180-CEA)/2=90-(a/2) , значит CIK=ECI+CEI=45+(a/2) , откуда CKI=180-(3a/2).
То есть углы в треугольнике IKC равны
I=a/2+45 , C=a-45 , K=180-(3a/2)
По условию IKC равнобедренный , значит надо проверить три условия равенства углов
1) I=C
2) C=K
3) I=K
Подходит только I=K (решая уравнения) , откуда a=135/2
Найдём угол CLK=180-(a-45+180-a)=45 . Получаем
AC/sin45=CL/sina
CL/AB=AC*sina/(AB*sin45)=2*cosa*sina/sqrt(2)=sin(2a)/sqrt(2)=sin135/sqrt(2)=1/2
ответ CL/AB=1/2