ответ: КС=16см
Объяснение: пусть катет ВС=х, тогда гипотенуза АС=2х. Зная, что АВ=24, составим уравнение используя теорему Пифагора:
(2х)²-х²=24²
4х²-х²=576
3х²=576
х²=192
х=√64×3
х=8√3см; ВС=8√3; АС=8√3×2=16√3см
Так как ВС равна ½АС, то этот катет лежит напротив угла 30°, значит угол А= 30°, следовательно, угол С=60°. Зная, что биссектриса, проведённая из угла С делит его пополам, то угол ВСК=углу АСК=30°. Теперь рассмотрим полученный ∆ВСК.Он также прямоугольный, где ВС и ВК катеты, а СК- гипотенуза. мы нашли катет ВС, угол ВСК=30°, а значит, катет лежащий напротив него тоже будет равен половине гипотенузы в этом треугольнике, т.е. ВК=½СК. Точно так же пусть ВК=х, тогда КС=2х. Составим уравнение используя теорему Пифагора: КС²-ВК²=ВС²
(2х)²-х²=(8√3)²
4х²-х²=64×3
3х²=192
х²=192÷3
х²=64
х=√64
х=8; итак: ВК=8см, тогда КС=8×2=16см
КС=16см
При пересечении трех прямых образуется 3 пары равных между собой вертикальных углов.
Так как угол КАМ равен 90°, то значит прямые КL и MN взаимно перпендикулярны.
Поэтому ∠KAN=∠LAN=∠MAL=∠KAM=90°.
Условие "угол КАР: MAQ=4 : 5" дано для того, чтобы знать, как провести прямую PQ. ( cм. рис. 1)
Если PQ проведена так как на рисунке 1, обозначим
∠KAP=4x; ∠MAQ=5x, тогда
∠KAQ=4x-90°;∠MAP=5x-90°;
∠KAQ+∠KAM+∠MAP=180°;
4x-90°+90°+5x-90°=180°.
9x=270°
x=30°
∠KAP=4·30°=120°; ∠MAQ=5·30°=150°;
значит ∠МАР=∠QAN=30°;
∠PАL=∠QAK=60° и
∠PАL:∠LАN=60°:90°=2:3
Условие "один из углов 80°" не выполняется.
Если прямая PQ расположена так как на рисунке 2.
Аналогично случаю 1 обозначим
∠KAP=4x; ∠MAQ=5x, получаем невозможное∠KAP=4·30°=120°, а на рисунке угол ∠KAP- острый .
Требуется дополнительное условие.
Оно есть "один из углов 80°". Какой?
Если ∠KAP=80°, тогда ∠MAQ=100°
а на рисунке 2, угол ∠MAQ=180°-10°=170°.
Значит, нужен третий рисунок.
∠MAQ=80°,∠MAQ=5x. х=16°
∠KAP=4x=4·16°=64°
Но тогда не выполняется условие "два других относятся как 2:3".