Question

Секущая МТ пересекает окружность в точках Т и К так, что МК = 9см. Найдите КТ, если отрезок касательной МР = 15см и Р – точка касания

Answer 1

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться свойством касательной, которое гласит, что касательная к окружности проведена в точке касания, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту же точку.

Пусть О будет центром окружности, а М будет точкой пересечения секущей МТ и окружности. Так как МП - касательная, то она перпендикулярна радиусу ОМ. Это позволяет нам построить прямоугольный треугольник МОР, где ОМ - радиус окружности, МП - касательная, РМ - высота.

Так как МК = 9см, а МР = 15см, то РК = МР - МК = 15см - 9см = 6см.

Теперь нам нужно найти КТ. Для этого мы можем воспользоваться свойством вписанного угла, которое гласит, что угол, образуемый хордой и соответствующей дугой, равен половине угла, образуемого этой дугой:

∠КОТ = 1/2 ∠МОТ.

Мы знаем, что ОМ - радиус окружности, а ОТ - хорда, поэтому ОМ будет являться биссектрисой угла .

Так как треугольник МОР является прямоугольным, то ОК будет являться биссектрисой прямого угла. Это позволяет нам использовать свойство равенства биссектрис в треугольнике:

КТ/КО = МР/МО

Теперь можем подставить известные значения:

КТ/МО = 15см/ОМ

Так как ОТ является хордой окружности, то ОТ = 2 * КТ. Подставляя это в уравнение, получаем:

2 * КТ/МО = 15см/ОМ

Мы также знаем, что ОМ = ОТ/2 = 2 * КТ/2 = КТ. Подставляя это в уравнение, получаем:

2 * КТ/КТ = 15см/КТ

Упрощая, получаем:

2 = 15см/КТ

КТ = 15см/2

Ответ: КТ = 7.5см.