Обозначим хорды АС и АК. Они - касательные, проведенные к меньшей окружности.
Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, не лежащей на окружности, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
⇒. ∠САВ=∠КАВ=60°:2=30°
Проведем СВ и КВ.
∠АСВ=∠АКВ=90° - опираются на диаметр АВ.
∆ АСВ=∆ АКВ - по гипотенузе и острому углу
⇒ АС=АК,
Проведем радиус ОМ в точку касания окружности с АС. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. ⇒
∠АМО=90°
ОМ=r и противолежит углу 30°. ⇒ гипотенуза ОА=2r.
Тогда АВ=3r ⇒
Пусть сторона, равная а, разделена на отрезки длиной х и (а - х), тогда угол В образуюют отрезки, равные х, а угол С отрезки, равные (а - х), угол С образуют отрезки (с-х).
Выходит, что сторона, равная в состоит из отрезков (а-х) и (с-х).
в = а - х + с - х
2х = а + с - в
х = 0,5(а + с - в)
а - х = а - 0,5а - 0,5с + 0,5в = 0,5а + 0,5в - 0,5с = 0,5(а + в - с)
с- х = с - 0,5а - 0,5с + 0,5в = 0,5с - 0,5а + 0,5в = 0,5(в + с - а)
Итак, вписанная окружность делит стороны треугольника на три пары равных отрезков.
ВС = а на отрезки х = 0,5(а + с - в) и (а - х) = 0,5(а + в - с)
СА = в на отрезки (а - х) = 0,5(а + в - с) и (с- х) = 0,5(в + с - а)
АВ = с на отрезки х = 0,5(а + с - в) и (с- х) = 0,5(в + с - а)