Для простоты записи обозначим углы, на которые медиана разделила угол С так:
уг. ДСА = уг.1, уг.ДСВ =уг.2
Также обозначим уг.ВДС = уг.α, тогда уг.АДС = 180° - α и АД=ВД =а.
Рассмотрим тр-к ВДС.
По теореме синусов: sinα : BC = sin уг.1 : а, откуда
sin уг.1 = sinα · а : BC
Рассмотрим тр-к АДС.
По теореме синусов: sin(180°-α) : АC = sin уг.2 : а,
или sinα : АC = sin уг.2 : а, откуда
sin уг.2 = sinα · а : АC
Сравним синусы углов 1 т 2. Поскольку по условию АС > ВС, то sin уг.2 < sin уг.1
и, следовательно,
уг.2 < уг.1
ответ: угол АСД (уг.2), примыкающий к стороне АС меньше угла ВСД (уг.1), примыкающему к стороне ВС
Пусть в трапеции АВСД, угол А = 60°, а угол Д = 30°.
Опустим из концов верхнего (меньшего) основания ВС высоты ВМ и СР на основание АД. ВМ = СР = Н
Разность оснований АД - ВС = 17 - 7 = 10(см)
Пусть АМ = х, тогда ДР = 10 - х.
tgА = ВМ:AM
или
tg60° = Н:х, откуда Н = х·tg60° или
Н = х·√3
tgД = СР:ДР
или
tg30° = Н:(10-х), откуда Н = (10 - х)·tg30° или
Н = (10 - х):√3
Приравняем правые части выделенных формул и найдём х
х·√3 = (10 - х):√3
3х = 10 - х
4х = 10
х = 2,5
10 - х = 7,5
Итак, АМ = 2,5см, ДР = 7,5см.
Теперь найдём боковые стороны
АВ = АM: cos 60°
АВ = 2,5: 0,5 = 5(cм)
СД = ДР: cos 30°
СД = 7,5: 0,5√3 = 15:√3 = 5√3(см)
ответ: боковые стороны АВ = 5см, СД = 5√3см