(См. рисунок) Прямые ND и DC пересекаются в точке D: ND ∩ DC = D
⇒ по теореме стереометрии о пересекающихся прямых через них проходит плоскость и притом только одна – плоскость γ ("гамма").
Две точки прямой NC лежат в плоскости "гамма", значит вся прямая NC лежит в этой плоскости: NC ⊂ γ. Так как прямая KN пересекает NC в точке N, принадлежащей прямой NC: N ∈ NC, то KN и NC также лежат в одной плоскости. Итак, точки N, D, C, K образуют плоскость γ.
Поскольку плоскость α параллельна плоскости β: α║β,
то по теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей: линии пересечения будет параллельны друг другу ⇒ KN ║ DC ⇒ углы
NDC и KND – односторонние; их сумма равна развёрнутому углу:
∠NDC + ∠KND = 180° ⇒ ∠KND = 180° - ∠NDC = 180° - 80° = 100°.
ответ: ∠KND = 100°
Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что прямые AA1, BB1, CC2 , содержащие его высоты, пересекаются в одной точкеПроведем через каждую вершину треугольника ABC прямую, параллельную противоположной стороне. Получим треугольник A2B2C2. Точки ABC являются серединами сторон этого треугольника. Действительно, ABA2C и ABCB2, как противоположные стороны параллелограммов ABA2C и ABCB2, поэтому A2CCB2. Аналогично C2AAB2 и C2BBA2. Кроме того, как следует из построения, CC1A2B2, AA1B2C2 и BB1A2C2. Таким образом прямые AA1BB1CC1 являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника A2B2C2. Следовательно, они пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.