Примем отрезки, на которые делится гипотенуза точкой касания, равными x и y.
Тогда один катет равен 1 + x, второй равен 1 + y (с учётом свойства касательных из одной точки к окружности).
Составим систему.
Первое уравнение: по Пифагору: (1 + x)² + (1 + y)² = 5²,
второе: x + y = 5.
Сделаем замену: у = 5 - х и подставим в первое уравнение.
(1 + x)² + (1 + (5 - х))² = 5².
1 + 2x + x² + 36 - 12x + x² = 25.
2x² - 10x + 12 = 0 или, сократив на 2:
x² - 5x + 6 = 0. Д = 25 - 4*1*6 = 1. х1 = (5 + 1)/2 = 3, х2 = (5 - 1)/2 = 2.
ответ: отрезки равны 3 и 2.
Иными словами, нам надо поместить квадрат в прямоугольный треугольник, вершинами которого являются точки (0;0); (-10;0) и (О;15)
Почему именно эти точки берем? Находим точки пересечения прямой с осями координат. Из уравнения прямой выразим у через х.
у/3=х/2+5, у=3х/2+15, если х=0, то у=15, Точка (0;15)-точка пересечения с осью оу, а если у=0, то х/2=-5, откуда х=-10, точка (-10;0)-точка пересечения прямой с осью ох.
Поскольку стороны у квадрата равны, то координата -х=у, и лежит на прямой, значит, удовлетворяет ее уравнению, вместо у подставим -х в уравнение и найдем точку, лежащую на прямой, и являющуюся вершиной R
х/2-(-х/3)=-5; х/2+х/3=-5, откуда 5/6х=-5, х=-6, у в этой точке равен 6. Значит, сторона квадрата равна 6, а его площадь 6²=36,
значит, площадь больше 30
ответ S(NOPR)>30