Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетом а и прилегающим к нему острым углом α. Две боковые грани, содержащие катеты этого треугольника, перпендикулярны плоскости основания, а третья наклонена к ней под углом β. Найдите объем пирамиды.
========
Пусть в данной пирамиде АВС - основание. угол С=90°, ВС=а, ∠АВС=α, MC⊥(ABC) – высота пирамиды. Угол между АВС и АМВ=β.
Формула объёма пирамиды V=S•H:3
Угол МНС - линейный угол угла между плоскостями основания и грани АМВ и равен углу между перпендикулярами, проведенными к одной точке на АВ.
МН - наклонная, перпендикулярна АВ, СН - её проекция на АВС.⇒ По т. о 3-х перпендикулярах угол СНВ=90°, а СН - высота ∆ АВС
S=a•b•sinα:2 ⇒
S(АВС)=AB•BC•sinα:2
АВ=ВС:cosα=a:cosα
S(АВС)=(a:cosα)•a•sinα:2=a²sinα:2cosα
H=MC=CH•tgβ
CH=BC•sinα=a•sinα
H=a•sinα•tgβ
V=(a²•sinα:2cosα)•a•sinα•tgβ:3⇒
ответ:
:
Отложим катеты треугольника по координатных осях, поместив вершину прямого угла в начало координат
Длина гипотенузы с = √ (a² + b²) = √ (5² + 12²) = 13
Площадь треугольника S = a * b / 2 = 5* 12/2 = 30
Радиус вписанной окружности r =
2 * S / (a + b + c) = 2 * 30 / (5+ 12 + 13) = 2
Итак, центр вписанной окружности имеет координаты (2, 2) (центр вписанной окружности ровно отдалённ от координатных осей)
Центр описанной окружности - середина гипотенузы, поэтому его координаты
((5 + 0) / 2, (0 + 12) / 2) = (2.5, 6)
Итак, искомое расстояние
d = √ ((2.5 - 2) ² + (6 - 2) ²) ≈4