Question

В треугольнике ABC и DEK AB=DE, AC=DK,BP=EM где P и M середины сторон AC и DK 1)докажите что треугольник ABC равен DEC
2)найдите площадь ABC если EM=3 см , DK= 4 корней из 2, угол EMK= 135 градусов.

Answer 1

1) Для доказательства равенства треугольников ABC и DEC, нам нужно найти равные стороны и равные углы.

Из условия задачи, у нас следующие равенства сторон:
AB = DE
AC = DK

Также дано, что P и M - середины сторон AC и DK соответственно.

2) Чтобы найти площадь треугольника ABC, нам нужно знать длину стороны AB.

Найдем длину стороны AB, используя равенство сторон AB = DE:
AB = DE

3) Так как DK = AC и EM = BP, то у нас есть пары равных сторон DK = AC и EM = BP, а также AB = DE (из пункта 2).

Перейдем к равным углам. Мы знаем, что EMK = 135 градусов.

4) В треугольнике ABC найдем углы. Для этого воспользуемся теоремой о сумме углов треугольника, которая гласит, что сумма всех углов треугольника равна 180 градусам.

Угол BAC + угол ABC + угол BCA = 180 градусов.

Так как углы треугольника ABC и треугольника DEC должны быть равными (из пункта 1), то у нас имеется пара равных углов: ABC = DEC.

5) Докажем, что и другие углы треугольников равны. У нас есть:

AC = DK (из условия)
DK = AC (по определению)
AD = AC + CD (из теоремы о треугольнике)
AC = AD - CD

Подставим AD = AC + CD в уравнение AC = AD - CD:
AC = (AC + CD) - CD
AC = AC

Таким образом, получаем, что стороны и углы треугольников ABC и DEC равны, что означает их полное равенство.

6) Теперь, когда мы доказали, что треугольники ABC и DEC равны, мы можем найти площадь треугольника ABC.

Для этого мы знаем, что площадь треугольника вычисляется по формуле:

Площадь = (1/2) * основание * высота

Основание треугольника ABC - сторона AB, которую мы нашли в пункте 2 (AB = DE).

Высота треугольника ABC - расстояние от вершины C до стороны AB, которое мы обозначим как h.

Теперь нам нужно найти высоту h треугольника ABC, используя известные данные EM = 3 см и DK = 4√2.

Мы знаем, что PM - медиана треугольника ABC, и медиана делит сторону AC пополам. Таким образом, AP = PC = AC/2.

Мы также знаем, что треугольник DME - прямоугольный, так как EMK = 135 градусов (из условия).

Используем теорему Пифагора в треугольнике DME:

(ED)^2 = (DM)^2 + (EM)^2

DE = AB = x (как мы нашли в пункте 2)

x^2 = (4√2)^2 + (3)^2

x^2 = 16*2 + 9

x^2 = 32 + 9

x^2 = 41

x = √41

Таким образом, у нас есть все необходимые данные для вычисления площади треугольника ABC:

Основание AB = √41
Высота h = AC/2

Тогда площадь треугольника ABC:

Площадь = (1/2) * AB * h
Площадь = (1/2) * √41 * (AC/2)
Площадь = (√41 * AC) / 4