Question

Плез 14 профильный матан ! в основании пирамиды sabc лежит треугольник авс со сторонами ас = 9, вс = 2√6, ав = √105; вершина s проецируется в центр описанной окружности основания. а) докажите, что точка s равноудалена от точек а, в и с. б) точка р лежит на ребре sc, точка q – середина ребра sb, высота пирамиды sabc равна 10. прямая рq параллельна плоскости авс. найдите объем пирамиды sарq

Answer 1

а) Обозначим за O - центр описанной окружности. Тогда OC=OB=OA как радиусы этой окружности. Из условия O - проекция точки S на плоскость основания, а значит ∠SOC=∠SOB=∠SOA=90°; Рассмотрим три прямоугольных треугольника: SOA, SOB, SOC: SO - их общая сторона, OA=OB=OC; Значит, они равны и, в частности, SA=SB=SC, что и требовалось.

б) Поскольку PQ параллельна плоскости основания и лежит в одной плоскости с CB, то она параллельна CB. Так как Q - середина SB, то PQ - средняя линия треугольника SCB. Отсюда следует, что площади треугольников SPQ и SCB относятся соответственно как 1:4 (4 - квадрат коэффициента подобия)

Теперь рассмотрим сами пирамиды. Пусть SPQ и SCB - их основания. Значит у этих пирамид относительно этого основания общая высота. Следовательно, объемы пирамид относятся как площади соответствующих оснований, т.е. 1:4.

Заметим, что 9²+(2√6)²=(√105)², значит, треугольник ABC - прямоугольный. Объем пирамиды SABC: V=SH/3=((9*2√6)/2)*10/3=30√6

Искомый объем в четыре раза меньше, т.е. равен (15√6)/2