Дано: ABCD - трапеция, BC║AD, AB=BC=CD, AC - диагональ, AC=AD
Найти: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D
Решение:
Обозначения: ∠1 = ∠CDA, ∠2 = ACD, ∠3 = ∠BAC, ∠4 = CAD, ∠5 = ∠BCA
1. Рассмотрим ΔACD: AC=AD (по усл)⇒ ΔACD - равнобедренный ⇒ ∠2 = ∠1
2. Рассмотрим ΔABC: AB=BC (по усл)⇒ ΔABC - равнобедренный ⇒ ∠3 = ∠5
3. Рассмотрим ∠5 и ∠4, т.к. BC║AD (по усл), то ∠5 и ∠4 внутренние накрест лежащие углы ⇒ ∠5 = ∠4 и, исходя из предыдущего пункта 2, получаем: ∠3 = ∠5 = ∠4
4. Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°, т.е. ∠C + ∠D = 180° ⇒ ∠5 + ∠2 + ∠1 = 180°, но из пункта 1: ∠2 = ∠1, поэтому запишем так: ∠5 + 2 *∠2 = 180°
5. С другой стороны, т.к. ABCD - равнобедренная, то ∠A = ∠D, т.е. ∠3 + ∠4 = ∠1, но, исходя из пункта 1: ∠2 = ∠1, получаем: ∠3 + ∠4 = ∠2. А, исходя из пункта 3: ∠3 = ∠5 = ∠4 ⇒ 2 * ∠5 = ∠2
6. Подставим полученное в пункте 5 значение ∠2 в выражение из пункта 4:
∠5 + 2 *∠2 = 180°
∠5 + 2 *2 * ∠5 = 180°
5 * ∠5 = 180° ⇒ ∠5 = 180°/5 = 36°
7. Исходя из пункта 3: ∠3 = ∠5 = ∠4 ⇒ ∠3 = ∠5 = ∠4 = 36°, т.е. ∠A = ∠D = ∠3 + ∠4 = 36° + 36° = 72°
8. ∠B = ∠C = ∠5 + ∠2 = 36°+72° = 108°
ответ: ∠A = ∠D = 72°, ∠B = ∠C = 108°
CD = 4,7 см; DE = 10,5 см; HF = 11 см.
Объяснение:
1) Согласно условию задачи, ΔCDE = ΔHOF.
В равных треугольниках соответственные стороны равны.
В ΔCDE задана только одна сторона СЕ = 11 см, тогда как в ΔHOF заданы 2 стороны (HO =4,7 см и OF = 10,5 см); так как среди двух заданных сторон треугольника HOF нет ни одной стороны, равной 11 см, то делаем вывод о том, что третья сторона ΔHOF равна стороне СЕ ΔCDE:
НF = CE = 11 см.
2) Из п. 1 решения следует, что:
вершине Н треугольника HOF соответствует вершина С в треугольнике CDE;
вершине F треугольника HOF соответствует вершина Е в треугольнике CDE.
Следовательно:
вершине О треугольника HOF соответствует вершина D в треугольнике CDE, откуда:
CD = HO = 4,7 см;
DE = OF = 10,5 см.
ответ: остальные стороны треугольника CDE:
CD = 4,7 см; DE = 10,5 см;
неизвестная сторона треугольника HOF HF= 11 см.