Сделаем рисунок. Обозначим вершины треугольника А, В, С, а точки касания окружности с его сторонами: на АС - К, на СВ-Н, на АВ-М Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы . Следовательно, АВ=2R=10см По свойству касательных из одной точки к окружности ВН=ВМ, АМ=АК, КС=СН Пусть ВН=х Тогда ВМ=х, а АМ=10-х Катет СВ=х+1 Катет АС=АМ+1 АМ=10-х катет АС=10-х+1=11-х По теореме Пифагора выразим квадрат гипотеунзы АВ через сумму квадратов катетов: АВ²=АС²+СВ² 100=(11-х)²+(1+х)² После возведения в квадрат содержимого скобок и приведения подобных членов получим квадратное уравнение 2х²-20х+22=0 или, сократив на 2, х²-10х+11=0 D=b²-4ac=-10²-44=56 х₁=(10+2√14):2=5+√14 х₂=5-√14 Отсюда АС=11-5-√14=6-√14 ВС=1+5+√14=6+√14 Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: S=(6-√14)(6+√14):2=(36-14):2=11 cм² Второй корень даст тот же результат, просто катеты «поменяются" размерами. ----- [email protected]
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
Дано: ∠А = ∠А₁; АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ . Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁. Доказательство: Достроим на стороне АС треугольник АВ₂С, в котором углы, прилежащие к стороне АС, равны углам в треугольнике А₁В₁С₁ (как на рисунке) . Тогда ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁ по двум углам. Запишем отношение сторон в этих треугольниках: АВ₂ : А₁В₁ = АС : А₁С₁. Сравним полученную пропорцию с данной в условии: АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ Значит, АВ₂ = АВ. Но тогда ΔАВС = ΔАВ₂С по двум сторона и углу между ними (АС - общая, АВ₂ = АВ и ∠А = ∠А₁ = ∠1 по условию). Итак, ΔАВС = ΔАВ₂С, а ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁, значит ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁. Доказано.
Обозначим вершины треугольника А, В, С, а точки касания окружности с его сторонами:
на АС - К,
на СВ-Н,
на АВ-М
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы .
Следовательно, АВ=2R=10см
По свойству касательных из одной точки к окружности
ВН=ВМ,
АМ=АК,
КС=СН
Пусть ВН=х
Тогда ВМ=х, а АМ=10-х
Катет СВ=х+1
Катет АС=АМ+1
АМ=10-х
катет АС=10-х+1=11-х
По теореме Пифагора выразим квадрат гипотеунзы АВ через сумму квадратов катетов:
АВ²=АС²+СВ²
100=(11-х)²+(1+х)²
После возведения в квадрат содержимого скобок и приведения подобных членов получим квадратное уравнение
2х²-20х+22=0
или, сократив на 2,
х²-10х+11=0
D=b²-4ac=-10²-44=56
х₁=(10+2√14):2=5+√14
х₂=5-√14
Отсюда
АС=11-5-√14=6-√14
ВС=1+5+√14=6+√14
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
S=(6-√14)(6+√14):2=(36-14):2=11 cм²
Второй корень даст тот же результат, просто катеты «поменяются" размерами.
-----
[email protected]