Плоскости АВ1С и АВС по условию образуют двугранный угол ВАСВ1 с ребром АС. Проведём перпендикуляр ВК к АС. Линейным углом этого двугранного угла будет угол В1КВ. Поскольку в прямоугольном треугольнике АВС ВК-высота, получаем два подобных треугольника АВС и ВКС. Отсюда ВК/КС=АВ/ВС=а/2а. Или ВК=1/2 КС. Обозначим ВК=h, КС=Х, отсюда h=Х/2. По теореме Пифагора( Х квадрат)+( Х/2)квадрат=(2а) квадрат. Или( Х квадрат)+(Хквадрат)/4=4*а квадрат. Отсюда Х=4а/(корень из 5). И h=ВК= 2а/(корень из5). Тогда tgв1кв=В1В/ВК=2корня из 5.
Хорошая задачка, хотя и очень простая.
Обозначим M - середина AC, BM - вертикальная ось симметрии АВС, N - точка касания АС вписаной окружностью, симметричная К относительно ВМ.
Тр-к АМС прямоугольный, BM/АМ =3/4 (по условию). Обозначим за х некую единицу измерения сторон, так что ВМ = 3*х, АМ = 4*х. Тогда АС = ВС = 5*х (надо ссылаться на Пифагора?), АN = АМ = 4*х, АС = 8*х.
Само собой, косинус ВАС (и ВСА) равен 4/5.
Имеем по теореме косинусов
b^2 = (8*x)^2 + (4*x)^2 - 2*(8*x)*(4*x)*(4/5);
Отсюда х^2 = b^2*5/144;
Площадь S = (4*x)*(3*x) = 12*x^2 = b^2*5/12