Вариант 1
1.В остроугольном треугольнике MNP биссектриса угла М пересекает высоту NK в точке А, причем АК = 14 см. Найдите расстояние от точки А до прямой MN.
2.Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 21 см. Найдите гипотенузу.
3.Постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте, проведенной к нему из вершины треугольника.
4.В треугольнике АВС ∠B = 90°, а биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О. Найдите угол АОС.
Пусть через вершину C проведена прямая, параллельная AB, и A2 - это точка пересечения этой прямой c продолжением прямой AA1;
Сразу видно две пары подобных трегольников
Треугольник APC1 подобен треугольнику A2PC; что означает
CA2/AC1 = CP/PC1;
Треугольник AA1B подобен треугольнику CA1A2, что означает
CA1/A1B = CA2/AB = CA2/(2*AC1) = (1/2)*CP/PC1;
То же самое можно сделать "с другой стороны медианы" (отметить на CA2 точку B2 пересечения с прямой BB1, и рассмотреть аналогичную пару подобных треугольников. Однако можно и это не делать - у вершин A и B можно просто поменять местами обозначения A <=> B)
то есть
CB1/B1A = (1/2)*CP/PC1 = CA1/A1B;
то есть A1B1 II AB по теореме Фалеса (ну, или в силу доказанного подобия треугольников ABC и A1B1C, если хотите).