Question

Определите центр и радиус окружности заданной уравнением 1 скобка закрывается скобка открывается икс минус 2 скобка закрывается в квадрате плюс игрек минус 5 скобка закрывается в квадрате равно 7 в квадрате; второе скобка закрывается скобка открывается Икс плюс 1 скобка закрывается в квадрате плюс скобка открывается игрек минус 5 скобка закрывается в квадрате равно 4​

Answer 1

Для определения центра и радиуса окружности по данному уравнению, мы сначала должны привести его к стандартному уравнению окружности вида "(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2", где (a,b) - координаты центра окружности, r - радиус.

Исходное уравнение: (x-2)^2 + (y-5)^2 = 7^2; (x+1)^2 + (y-5)^2 = 4^2.

1. Приведем первое уравнение в стандартную форму:
(x-2)^2 + (y-5)^2 = 7^2; раскроем скобки:
x^2 - 4x + 4 + y^2 - 10y + 25 = 49; соединим подобные члены:
x^2 + y^2 - 4x - 10y + 29 = 49; перенесем все члены в одну часть уравнения:
x^2 + y^2 - 4x - 10y - 20 = 0.

2. Приведем второе уравнение в стандартную форму:
(x+1)^2 + (y-5)^2 = 4^2; раскроем скобки:
x^2 + 2x + 1 + y^2 - 10y + 25 = 16; соединим подобные члены:
x^2 + y^2 + 2x - 10y + 10 = 16; перенесем все члены в одну часть уравнения:
x^2 + y^2 + 2x - 10y - 6 = 0.

Теперь у нас есть два уравнения с одинаковыми коэффициентами x^2, y^2, x и y.

Это означает, что центр окружности будет в точке пересечения двух прямых, заданных этими уравнениями.

3. Составим систему из этих двух уравнений:

x^2 + y^2 - 4x - 10y - 20 = 0
x^2 + y^2 + 2x - 10y - 6 = 0

4. Вычтем второе уравнение из первого:
(x^2 + y^2 - 4x - 10y - 20) - (x^2 + y^2 + 2x - 10y - 6) = 0
Упростим:
-6x - 14 = 0
-6x = 14
x = -14/6 = -7/3

5. Подставим найденное значение x в любое уравнение для нахождения y:
(x+1)^2 + (y-5)^2 = 4^2
(-7/3 + 1)^2 + (y - 5)^2 = 16
(-4/3)^2 + (y - 5)^2 = 16
16/9 + (y - 5)^2 = 16
(y - 5)^2 = 144/9 - 16/9
(y - 5)^2 = 128/9
y - 5 = ±√(128/9)
y = 5 ± √(128/9)

Таким образом, центр окружности будет точкой (-7/3, 5 ± √(128/9)).

Чтобы найти радиус, мы можем использовать любое уравнение окружности (например, первое):

(x-2)^2 + (y-5)^2 = 7^2

Подставим координаты центра окружности (-7/3, 5 ± √(128/9)):

(-7/3 - 2)^2 + (5 ± √(128/9) - 5)^2 = 49
(-7/3 - 6/3)^2 + (√(128/9))^2 = 49
(-13/3)^2 + 128/9 = 49
169/9 + 128/9 = 49
297/9 = 49
r = √(297/9) = √33

Таким образом, радиус окружности равен √33.