В равнобедренном треугольнике АВС с основой АС угол при основе на 21(градус) меньший от угла при вершине,противоположной основе.Найдите все углы этого треугольника
Пусть данный треугольник ABC, в нем опущены высоты AK и BN, ортоцентр - O. Нарисуем точку, симметричную O относительно BC: продолжим OK на отрезок, равный OK, за точку K. Обозначим полученную точку L. Теперь необходимо доказать, что ablc - вписанный пусть ∠obk = a Δobl - равнобедренный, тк bk - высота и медиана => ∠kbl = ∠obk = a из Δbnc ∠nbc = 90 - ∠bcn из Δakc ∠kac = 90 - ∠kcn ∠kcn и ∠bcn - один и тот же угол => ∠kac = ∠nbc = a ∠lac = ∠cbl = a => они опираются на одну дугу и ablc - описанный => точка l - лежит на окружности, описанной около abc. оставшиеся 2 точки доказываются абсолютно аналогично
Давайте сначала рассмотрим две точки и посмотрим, при каких условиях прямая будет равноудалена от них (первый рисунок). Я утверждаю, что так будет, если или она параллельна отрезку, соединяющему эти точки, или проходит через середину этого отрезка.
Доказательство несложно: если прямая параллельна отрезку, то расстояние от неё до любой точки отрезка одинаково; в противном случае она пересекает прямую, содержащую отрезок. Но вне отрезка она пересечь не может - см. нижний рисунок, отрезки AHa, BHb не равны, поэтому она пересекает в некоторой точке C, принадлежащей отрезку (смотрим на верхний рисунок). Опустим из точек перпендикуляры на прямую. Прямая равноудалена от точек, поэтому AHa = BHb. Кроме того, равны углы ACHa и BCHb - вертикальные. Отсюда прямоугольные треугольники ACHa и BCHb равны по катету и острому углу, и AC = CB.
Теперь возвращаемся к задаче. Будем думать, что нам даны вершины треугольника ABC. Искомая прямая не может быть параллельна более, чем одной стороне треугольника, две стороны она точно пересекает в середине. Значит, это средняя линия треугольника. Легко проверить, что средняя линия удовлетворяет условию.
ответ. (Второй рисунок) Искомая прямая - средняя линия треугольника, образованного данными точками. Задача имеет три решения - по числу средних линий.
Нарисуем точку, симметричную O относительно BC:
продолжим OK на отрезок, равный OK, за точку K. Обозначим полученную точку L.
Теперь необходимо доказать, что ablc - вписанный
пусть ∠obk = a
Δobl - равнобедренный, тк bk - высота и медиана =>
∠kbl = ∠obk = a
из Δbnc ∠nbc = 90 - ∠bcn
из Δakc ∠kac = 90 - ∠kcn
∠kcn и ∠bcn - один и тот же угол => ∠kac = ∠nbc = a
∠lac = ∠cbl = a => они опираются на одну дугу и ablc - описанный => точка l - лежит на окружности, описанной около abc.
оставшиеся 2 точки доказываются абсолютно аналогично