Чертёж смотрите во вложении.
Дано:
Окружность с центром О.
CD - касательная.
D - точка касания.
OD - радиус.
ОС = 22 см.
∠COD = 60°.
Найти:
ОD = ?
Радиус, проведённый в точку касания перпендикулярен этой касательной. Следовательно, ΔCOD - прямоугольный.Рассмотрим ΔСOD - прямоугольный. ∠OCD = 90°-∠COD = 90°-60° = 30° (так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°). Против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. В нашем случае гипотенуза - СО, так как лежит против угла в 90°. OD - тот самый катет, лежащий против угла в 30°. Поэтому, OD = 0,5*СО = 0,5*22 см = 11 см.ответ: 11 см.
Соединим точку с концами диаметра. Получим прямоугольный треугольник с меньшим катетом 30 см.
Примем проекцию хорды на диаметр за х.
Радиус будет тогда х+7.
Высота делит треугольник на два,тоже прямоугольных.
В прямоугольном треугольнике справедливы следующие соотношения:
1) h² = a₁· b₁;
2) b² = b₁ · c;
3) a² = a₁ · c,
где b₁ и a₁ - проекции катетов b и a на гипотенузу с
Применим первое отошение и приравняем его к квадрату высоты из треугольника с хордой и ее проекциея.
h²=x(x+14)
h²=30²-x²
x(x+14)=30²-x²
x²+14х=900 -x²
2x²+14х-900=0
x²+7х-450=0
Решаем уравнение через дискриминант.
D = 1849
√D = 43
Уравнение имеет 2 корня.
x 1=18,
x 2= -25 ( не подходит).
Радиус окружности равен
18+7=25 см
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
=> OD ⊥ CD.
=> ∆COD - прямоугольный.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
=> ∠OCD = 90° - 60° = 30°
Если угол прямоугольного треугольника равен 30°, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы.
Напротив лежащий катет OD - и есть радиус.
=> OD = 22 ÷ 2 = 11 см.
ответ: 11 см.