Доказательство:
АС = СВ + ВА; АК = АН + НК; ⇒ АС = АК, так как по условию СВ = НК, а ВА = АН. Тогда ΔАСН = ΔАКВ по 1-му признаку (АС = АК и АН = ВА (по условию) ∠А - общий). Следовательно, ∠АНС = ∠АВК.
∠КНD - внешний угол для ∠АНС в ΔКНD, поэтому ∠KHD = 180° - ∠АНС.
∠СВD - внешний угол для ∠ АВК в ΔCBD, поэтому ∠СВD = 180° - ∠ АВК.
А так как ∠АНС = ∠АВК, то и ∠KHD = ∠СВD.
Получается, что ΔCBD = ΔКНD по 2-му признаку (∠ВСD = ∠НКD по условию; СВ = НК - по условию; и мы доказали, что ∠KHD = ∠СВD)
Требуемое доказано!
Один из углов равнобедренной трапеции равен 150°. Вычисли площадь трапеции, если её меньшее основание равно 13 см , а боковая сторона равна 40√3 см.
Дано:
ABCD _равнобедренная трапеция
AD || BC ;
∠ABC =∠DCB =150° ;
AD > BC = 13 см ;
AB = DC =40√3 см,
S = S(ABCD) -?
ответ: площадь трапеции равно 1260√3 см² .
Объяснение: AD || BC ( AD |и BC основания трапеции ABCD ) , поэтому ∠A+∠ABC =180°
∠A = 180° -∠ABC =180° -150° =30°.
[ Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна 180°. ]
Проведем BE ⊥ AD и CF ⊥ AD . Получается прямоугольник BEFC , еще два треугольникa ABE и DCF .
Рассмотрим ΔABE :
BE =AB/2 как катет против угла A=30°; BE =AB/2 = 20√3 (см)
По теореме Пифагора : AЕ =√(AB²- BE²)
AЕ =√( (40√3)² - (20√3)² ) =√( (20√3)² (4 - 1) ) =20√3 *√3 =20*3 =60 (см)
ΔABE = ΔDCF по катету и гипотенузе ( BE = CF и AB =DC )
[ Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. ]
⇒ AE =DF =60 см
S =0,5(AD +BC) *BE =0,5(AE +EF +FD +BC) *BE =
= 0,5(AE +EF +FD +BC) *BE =0,5(2AE +2BC) *BE = (AE+BC)*BE =
=(60 +13)*20√3 =73*20√3 = 1460√3 (cм²) .
Удачи !